人教版高中数学选修4-5课件：模块复习课 第三课 柯西不等式、排序不等式与数学归纳法 （共63张PPT） .ppt

第三课 柯西不等式、 排序不等式与数学归纳法 【网络体系】 【核心速填】 1.二维形式的柯西不等式 (1)二维形式的柯西不等式:_____________________ _______________________. 若a,b,c,d都是数,则 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 (2)柯西不等式的向量形式:_____________________ _____________________.当且仅当 是零向量,或存 在数k,使 =k 时,等号成立.  是两个向量,则 | |·| || · |≤ (3)二维形式的三角不等式:x1,y1,x2,y2∈R,那么 ________________________________________ 2.一般形式的柯西不等式 a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是数,则 ________________________________________________. 当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi (i=1,2,…,n)时,等号成立. (a1 2+a2 2+…+an 2)(b1 2+b2 2+…+bn 2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2 3.排序不等式 a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组数, c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,则 a1bn+a2bn-1+…+anb1≤________________ ≤a1b1+a2b2+…+anbn. a1c1+a2c2+…+ancn 4.数学归纳法 一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的 所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤: (1)证明当____时,命题成立. (2)假当n=k(k∈N+,且k≥n0)时,命题成立.证明 ______时,命题也成立. n=n0 n=k+1 【易错警示】 关注数学归纳法应用时常出现的三个错误 (1)对假而不用. (2)机械套用数学归纳法中的两个步骤致误. (3)没有搞清从k到k+1的跨度. ＜1- ＜ . 型一 利用柯西不等式证明不等式 【典例1】若n是不小于2的正整数,求证: 【证明】1- 所以求证式等价于 < < . 由柯西不等式,有 [(n+1)+(n+2)+…+2n]>n2, 于是 > = = ≥ = . ＜1- ＜ . 又由柯西不等式,有 所以 【方法技巧】利用柯西不等式证题的技巧 (1)柯西不等式的一般形式为(a1 2+a2 2+…+an 2)·(b1 2+ b2 2+…+bn 2) ≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2(ai,bi∈R,i=1, 2,…,n),形式简洁、美观、对称性强,灵活地运用柯西 不等式,可以使一些较为困难的不等式的证明问题迎刃 而解. (2)利用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组 数,并向着柯西不等式的形式进行转化,运用时要注意 体会. 【式训练】1.a,b,c为正数,且a+b+c=3,求证: 【解题指南】利用柯西不等式的向量形式,目标式的左 边应是两个向量的数量积.由于变量a,b,c的系数都相 等,由整体性可构造向量m=( ), n=(1,1,1),利用|m·n|≤|m||n|可得证. 【证明】令m=( ),n=(1,1,1),则 m·n= 而|m|= 又|n|= ,由|m·n|≤|m||n|,得 所以 当且仅当a=b=c=1时,等号成立. 2.已知正数x,y,z满足5x+4y+3z=10. (1)求证: (2)求 的最小值. 【解析】(1)根据柯西不等式,得 [(4y+3z)+(3z+5x)+(5x+4y)] ≥(5x+4y+3z)2, 因为5x+4y+3z=10, 所以 (2)根据基本不等式,得 当且仅当x2=y2+z2时,等号成立. 根据柯西不等式,得 (x2+y2+z2)(52+42+32)≥(5x+4y+3z)2=100, 即x2+y2+z2≥2,当且仅当 时,等号成立. 综上, ≥2×32=18. 型二 利用排序不等式证明不等式 【典例2】A,B,C表示△ABC的三个内角的弧度 数,a,b,c表示其对,求证: 【证明】方法一:不妨设A>B>C,则有a>b>c 由排序原理:顺序和≥乱序和 所以aA+bB+cC≥aB+bC+cA aA+bB+cC≥aC+bA+cB aA+bB+cC=aA+bB+cC 上述三式相加得 3(aA+bB+cC)≥(A+B+C)(a+b+c)=π(a+b+c) 所以 方法二:不妨设A>B>C,则有a>b>c, 由排序不等式 即aA+bB+cC≥ (a+b+c), 所以 【延伸探究】在本例条件下,你能证明 吗? 【证明】能.由0