1.1.1 正弦定理（二）.ppt

1.1.1 正弦定理一、正弦定理： 二、可以用正弦定理解决的三角问题： ①知两角及一边，求其它的边和角 ②知三角形任意两边及其中一边的对角，求 其它的边和角 回顾例2、在△ABC中，b= ，c=1，B=60o，解这个三角形. 正弦定理可解决的第二类问题： 知三角形任意两边及其中一边的对角，求其它的边和角 可先求另一边的对角，再确定剩下的边和角练习：若ΔABC满足下列条件，求角B （1） b＝20，A＝60°，a＝ ; （2） b＝20，A＝60°，a＝ ; （3） b＝20，A＝60°，a＝15. 无解 思考：若ΔABC中 b＝20，A＝60°,当a为何值 角B有1解、2解、无解 设在△ABC中，已知a、b、A的值，则解该三角形 可能出现以下情况： 1.若A是锐角 （1）若a < bsinA，则此时无解； （2）若a = bsinA，则此时恰有一解，即角B为直角； （3）若bsinA< a b，则此时只有一解，即角B需取锐角； （2）若a≤b，则此时无解. a BA C b A B C a bAA的范围的范围 a,ba,b关系关系 解的情况解的情况 （按角（按角AA分类）分类） 讨论已知两边和一边对角的三角形的解：讨论已知两边和一边对角的三角形的解： AA为钝角或直角为钝角或直角 AA为锐角为锐角 aa＞＞bb aa≤≤bb aa＜＜bbsinsinAA aa==bbsinsinAA bbsinsinAA＜＜aa＜＜bb 一解一解 无解无解 无解无解 一解一解 两解两解 aa≥≥bb 一解一解练习：求分别满足下列条件的三角形的解的个数 （1）a=8，b=16，A=30o; （2）a=2，b=4，A=60o; （3）a=30，b=25，A=150o; （4）b=5，c=3，B=48o; （5）b=18，c=20，B=60o; 一解 无解 一解 一解 判断已知两边及其中一边对角的三角形解的个数 的基本步骤： （1）判断已知角A的类型；（钝、直、锐） （2）判断已知两边a、b的大小关系； （3）判断a与bsinA的大小关系. 二解例4、在正弦定理中，设 证明k=2R（R为△ABC的外接圆的半径） A B CbO 证明：若△ABC为直角三角形 如图，C=90o，c=2R 若△ABC不是直角三角形 D A B C bO 如图，作直径AD，连结CD，则AD=2R ∠ACD=90o，B=D正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径） （边换角） （角换边）解：由正弦定理，得 故△ABC为等腰三角形或直角三角形.针对性练习 1、已知△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，且 b sinB=c sinC，则△ABC的形状是 2、已知△ABC中，B=30o，C=120o，则a:b:c= 等腰直角三角形变式训练 答案：等腰三角形小结： 一、正弦定理： 二、可以用正弦定理解决的两类三角问题： （1）知两角及一边，求其它的边和角； （2）知三角形任意两边及其中一边的对角，求其它 的边和角（注意判断解的个数） 其中，R是△ABC的外接圆的半径分析：设△ABC的三个角所对边长分别是a、b、c， 且∠A≥∠B≥∠C， （1）若△ABC是锐角或直角三角形 ∵正弦函数y=sinx在 上是增函数 ∴ 故由正弦定理可得a≥b≥c （2）若△ABC是钝角三角形，则∠A为钝角 ∴p-∠A< ，且p-∠A=∠B+∠C>∠B≥∠C ∴ 即 ∴由正弦定理可得a>b≥c 思考：你能用正弦定理来解释为什么在三角形中越大 的角所对的边就越大吗？ 三、小结：正弦定理，两种应用 已知两边和其中一边对角解斜三角形有两解 或一解（见图示） C CC C A B AAA BB b a bbb a a aa a=bsinA 一解 bsinA