3.4 圆周角和圆心角的关系（第2课时） 演示文稿.ppt

第三章 圆 3.4 圆周角和圆心角的关系 （第2课时）定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角 的度数的一半 B 1.求图中角X的度数 A O . 70° x C A O. X 120° C D B X= X= 35° 120° 课前复习定理 同弧或等弧所对的圆周角相等 2.求图中角X的度数 60° x X= X= 60° 50° 20° x 30° A B C D E F ∠ABF=20°，∠FDE=30°观察图，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角有 什么特点？你能证明吗？ A B CO 新课学习 解：直径BC所对的圆周 角∠BAC=90° 证明： ∵BC为直径 ∴∠BOC=180° ∴ （圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）观察图，圆周角∠BAC=90°，弦BC是直径吗 ？为什么？ 想一想 B C A O 解：弦BC是直径。 连接OC、OB ∵∠BAC=90° ∴∠BOC=2∠BAC=180° （圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角 的度数的一半） ∴B、O、C三点在同一直线上 ∴BC是⊙O的一条直径 注意：此处不能直接连接BC，思路是先 保证过点O，再证三点共线。直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。 A B CO B C A O 几何语句： ∵BC为直径 ∴∠BAC=90° 几何语句： ∵∠BAC=90° ∴BC为直径随堂练习 小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为 半圆形。下面所示的四种圆弧形，你能判 断哪个是半圆形？为什么？随堂练习 如图，⊙O的直径AB=10cm，C为⊙O上的一 点，∠B=30°，求AC的长。 A B C O 解∵AB为直径 ∴∠BCA=90° 在Rt△ABC中， ∠ABC=30°，AB=10 ∴议一议 如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的 直径，请问∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为 什么？ A B C O D 解：∠BAD与∠BCD互补 ∵AC为直径 ∴∠ABC=90°,∠ABC=90° ∵∠ABC+∠BCD+∠ABC+∠BAD=360° ∴∠BAD+∠BCD=180° ∴∠BAD与∠BCD互补议一议 如图，C点的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD 之间有的关系还成立吗？为什么？ A B C O D解：∠BAD与∠BCD的关系仍然 成立 连接OB，OD ∵ （圆周角的度数等于它所对弧上圆心角的 一半） ∵∠1+∠2=360° ∴∠BAD+∠BCD=180° ∴∠BAD与∠BCD互补 1 2A B C O D A B C O D 如图，两个四边形ABCD有什么共同的特点？ 四边形ABCD的的四个顶点都在⊙O上，这样 的四边形叫做圆内接四边形； 这个圆叫做四边形的外接圆。A B C O D A B C O D 如图，我们发现∠BAD与∠BCD之间有什么关系？ 圆内接四边形的对角互补。 几何语句： ∵四边形ABCD为圆内接四边形 ∴∠BAD+∠BCD=180°（圆内接四边形的对角互补）想一想 如图，∠DCE是圆内接 四边形ABCD的一个外角， ∠A与∠DCE的大小有什 么关系？ A B C O D E 解：∠A=∠CDE ∵四边形ABCD是圆内接四边形 ∴∠A+∠BCD=180°（圆内角四边形的对角互补） ∵∠BCD+∠DCE=180° ∴∠A=∠DCE议一议 在得出本节结论的过程中，你用到了哪 些方法？请举例说明，并与同伴进行交流。 方法1：解决问题应该经历“猜想——实验验 证——严密证明”三个基本环节. 方法2：从特殊到一般的研究方法，对特殊图 形进行研究，从而改变特殊性，得出一般图 形，总结一般规律. 随堂练习 在圆内接四边形ABCD中，∠A与∠C的度 数之比为4:5，求∠C的度数。 解： ∵四边形ABCD是圆内接四边形 ∴∠A+∠C=180°（圆内角四边形的对角互补） ∵∠A:∠C=4:5 ∴ 即∠C的度数为100°。知识技能 1.如图，在⊙O中，∠BOD=80°，求∠A和 ∠C的度数。 A B CO D解： ∵ ∠BOD =80° ∴ （圆周角的度数等于它所对弧上的圆心 角的度数的一半） ∵四边形ABCD是圆内接四边形 ∴∠DAB+∠BCD=180° ∴∠BCD=180°-40°=140° （圆内接四边形的对角互补）知识技能 2.如图，AB是⊙O的直径，∠C=15°，求 ∠BAD的度数。 A B C O D解：连接BC ∵AB为直径 ∴∠BCA=90° （直径所对的圆周角为直角） ∴∠BCD+∠DCA=90°，∠ACD=15° ∴∠BCD=90°-15=75° ∴∠BAD=∠BCD=75°（同弧所对的圆周角相 等） 方法一：知识技能 2.如图，AB是⊙O的直径，∠C=15°，求 ∠BAD的度数。 A B C O D解：连接OD ∵∠ACD=15° ∴∠AOD=2∠ACD =30° （圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半） ∵OA=OD ∴∠OAD=∠ODA 又∵∠AOD+∠OAD+∠ODA=180° ∴∠BAD=75° 方法二：知识技能 3.如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组 对边相交于点E，F，若∠E =40°，∠F =60°,求∠A的度数。 A B D O C E F 解： ∵四边形ABCD是圆内接四边形 ∴∠ADC+∠CBA=180° （圆内接四边形的对角互补） ∵∠EDC+∠ADC=180°， ∠EBF+∠ABE=180° ∴∠EDC+ ∠EBF=180° ∵∠EDC=∠F+∠A,∠EBF=∠E+∠A ∴∠F+∠A+∠E+∠A=180° ∴∠A=40°知识技能 4.如图，⊙O1与⊙O2都经过A，B两点，且点O2在⊙O1上， 点C是AO2B上的一点（点C不与A，B重合），AC的延长 线交⊙O2于点P，连接AB，BC，BP。 （1）根据题意将图形补充完整； （2）当点C在AO2B上运动时，图中大小不变的角有哪些 ？（将符合要求的角都写出来） . .O1 O2 A B .C P .C P 大小不变的角有： ∠ACB ∠APB ∠BCP