第三章 圆
3.7 切线长定理 一、创设情景,引入新课
问题:有一天,同学们去王老师家做客,王
老师正在洗锅,就问:谁能测出这个锅盖的
半径,就可以得到一根雪糕,同学们都跃跃
欲试,但老师家里只有一个曲尺,到底谁能
得到这根雪糕呢?
A
B
O
PC
D A
B O
P二、 合作学习,探究新知
(一)、切线长定义
1、切线长定义:在经过圆外一点的切线上,
这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆
的切线长.
2、剖析定义:
(1)找出中心词,把定义进行缩句。(线
段的长叫做切线长)
(2)定义中的“线段”具有什么特征?
① 在圆的切线上;②两个端点一个是切点,
一个是圆外已知点。3、在图形中辨别:
(1)已知:如图1,PC和⊙O相切于点A ,点
P到⊙O的切线长可以用哪一条线段的长来表
示? (2)已知:如图2,PA和PB分别与⊙O相切于
点A、B ,点P到⊙O的切线长可以用哪一条线
段的长来表示?(线段PA或线段PB)
(3)如图2,思考:点P到⊙O的切线长可以用
三条或三条以上不同的线段的长来表示吗?这
样的线段最多可以有几条?为什么?(4)既然点P到⊙O的切线长可以用两条不同
的线段的长来表示,那么这两条线段之间一
定存在着某种关系,是什么关系呢?(二)、切线长定理
1、探索问题1:从⊙O外一点P引⊙O的两条切线,
切点分别为A、B,那么线段PA和PB之间有何关系
?探索步骤:
(1)根据条件画出图形;
(2)度量线段PA和PB的长度;
(3)猜想:线段PA和PB之间的关系;
(4)寻找证明猜想的途径;
(5)在图3中还能得出哪些结论?并把它们归类。
(6)上述各结论中,你想把哪个结论作为切线
长的性质?请说明理由。2、由(6)得出定理:
切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,
它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平
分两条切线的夹角.∵PA、PB分别是⊙O的切线,点A、B分别为切
点,(PA、PB分别与⊙O相切于点A、B)
∴PA=PB,∠APO=∠BPO.
3、剖析定理:
(1)指出定理的题设和结论;
(2)用符号语言表示定理:(3)切线和切线长区别。
切线是到圆心距离等于圆的半径的直线,
而切线长是线段,指过圆外一点做圆的切
线,该点到切点的距离。4、拓展:
(1)图3是轴对称图形吗?连结图3中的两个
切点AB交OP于点C,又能得出什么结论?并把
它们分类。
答:图3是轴对称图形,
连接AB,结论
(1) △PAB 是一个等腰三角形,并且存在
等腰三角形的三线合一定理.
(2)AB⊥OP ,出现了圆的垂径定理. (2)已知圆O 的两条切线互相平行,A、B 两
点为切点,如果连接两切点AB,则AB是圆O 的
直径吗? 数学来源于生活,又应用于生活,
请同学们再思考下,它们在我们的日常生活中
各有什么应用?(3) 如图8中,作出三角形三条切线后
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内
切圆,图8中存在切线长定理吗?.
存在(三)、圆的外切四边形的性质
请同学们先在草稿本中作出有关已知
圆O 的四条切线,再互相交流与讨论你的发
现与结论并加以验证.
结论:圆的外切四边形的两组对边的和相等.例题1:已知如图,Rt△ABC的两条直角边
AC=10,BC=24,⊙O 是△ABC 的内切圆,切
点分别为D,E,F,求⊙O 的半径。• 变式1:如图5,△ABC的内切圆⊙O与BC,
CA,AB分别相切于点 D,E,F,且
AB=9cm,BC=14cm,CA=13cm,求AF,BD,CE的长。• 变式2:如图,P是⊙O外一点,PA与PB分别
⊙O切于A、B两点,DE也是⊙O的切线,切
点为C,PA=PB=5cm,求△PDE的周长。
O
A
B
D
C
E
P三、应用新知,体验成功
1、填空:如图10,PA、PB分别与⊙O相切于点A、
B,
(1)若PB=12,PO=13,则AO=
(2)若PO=10,AO=6,则PB= ;
(3)若PA=4,AO=3,则PO= ;PD=
;2、已知如图10,PA、PB分别与⊙O相切于点A、
B,PO与⊙O相交于点D,且PA=4cm,PD=2cm.
求半径OA的长.• 3、为了测量一个圆形锅盖的半径,某同学
采用了如下办法:将锅盖平放在水平桌面
上,用一个锐角为30°的三角板和一个刻
度尺,按图中所示的方法得到相关数据,
进而可求得锅盖的半径,若测得PA=5cm,
则锅盖的半径长是多少?
•
PA
B
O四、梳理小结,盘点收获
1、你的学习心得、体会是什么?
2、你有哪些好的经验可推广?
3、你还存在哪些困难、疑问?谢谢合作!