高中数学人教新课标A版必修5第二章等差数列的前n项和（一）课件

一、数列前n项和的意义: 设数列｛an｝： a1， a2 ， a3 ，…， an ，… 我们把a1＋a2 ＋ a3 ＋ … ＋ an叫做数列｛an ｝的前n项和，记作Sn实例探究: 高斯(1777—1855） 德国著名数学家。 1+2+3+…+98+99+100=？ 高斯10岁时曾很快算出这一结果，如何算的呢？思考：1+2+3+…+n=？ 1 + 2 + … + ( n-1) + n n + ( n-1) + … + 2 + 1 (n+1) + (n+1) + … + (n+1) + (n+1) 推广：其它等差数列是不是也可以用这个思路来 求前n项和呢？ 一般地，我们称a1+a2+…+an为数列{an}的前n项和， 常用Sn表示，即Sn=a1+a2+…+an对公差为d的等差数列{an} ，有 Sn=a1+a2+…+an Sn=an+an-1+…+a1 所以2Sn=(a1+a2+…+an)+(an+an-1+…+a1) =(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an+a1) =(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an) =n(a1+an) n个 等差数列前n项和公式的推导：等差数列的前n项和公式： 若把an=a1+(n-1)d代入上式，则可得例1、等差数列-10，-6，-2，…的前多少项的和为54？ 解： 设该数列的前n项的和为54，则有 整理得 n2-6n-27=0 解得 n=9或n=-3（舍去） ∴这个数列的前9项的和为54 练习：已知在等差数列{an}中 （1）an=4n-1，求S50； （2）a1=12， a8=26 ，求S20； （3）a6+a9=8，求S14； 620 5050 56 思考：若知道a7=10，你能求出前几项的和？等差数列的前n项和公式： 注意a1+an的变形 方程的思想例2、已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项 的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的通项公式 及前 n 项和的公式吗？ 解：依题意知，S10=310，S20=1220 10a1+45d=310 20a1+190d=1220 得 解得 a1=4，d=6 将它们代入公式 思考：对于等差数 列的相关 a1,an,d,n,Sn,已知几 个量就可 以确定其他量？例2、已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项 的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的通项公式 及前 n 项和的公式吗？ 思考：对于等差数 列的相关 a1,an,d,n,Sn,已知几 个量就可 以确定其他量？ a1,d,n是等差数列的三个 基本量，an,Sn可以用这 三个量表示， a1,an,d,n,Sn,可知三求二。 一般是通过通项公式和 前n项和公式联立方程 (组)求解。练习：已知在等差数列{an}中例3、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学 实施校校通工程的通知》。某市据此提出了实施“校 校通”工程的总体目标：从2001年起用10年的时间， 在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001 年该市用于“校校通”的工程经费为500万元。为了 保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一 年增加50万元。那么从2001年起的未来10年间，该市 “校校通”工程中的总投入是多少？ 解：根据题意，从2001 ～ 2010年，该市每年投入“校 校通”工程的经费都比上一年增加50万元。所以，可 以建立一个等差数列{an}，表示从2001年起各年投入 的资金，其中， 那么，到2010年（n=10）,投入的资金总额为 答：从2001～2010”年,该市在“校校通”工程中的总投 入是7250元.分析：∵Sn=a1+a2+…+an， Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2) ∴an=Sn-Sn-1 (n≥2) 特别地，当n=1时，a1=S1 例3、已知数列{an}的前n项和为 ，求该数列 的通项公式，这个数列是等差数列吗？例3、已知数列{an}的前n项和为 ，求该数列 的通项公式，这个数列是等差数列吗？ 解：当n=1时， 当n≥2时， ∴数列{an}的通项公式为 这是首项为 ，公差为2的等差数列等差数列的前n项和公式： 若已知数列{an}前n项和为Sn，则该数列的 通项公式为 S1， n=1 Sn-Sn-1，n≥2an=探究： 一般地，如果一个数列{an}的前n项和为 Sn=pn2+qn+r，其中p、q、r为常数，且p≠0，那么 这个数列一定是等差数列吗？若是，则它的首项与 公差分别是什么？ 分析：当n=1时，a1=S1=p+q+r 又∵当n=1时，an=2p-p+q=p+q ∴当且仅当r =0时，a1满足an=2pn-p+q 故只有当r =0时该数列才是等差数列， 此时首项a1=p+q，公差d=2p(p≠0) ∵当n>1时， an =Sn-Sn-1 =pn2+qn+r-p(n-1)2-q(n-1)-r =2pn-p+q