高中数学人教版选修1-2同课异构教学课件：1.1 回归分析的基本思想及其初步应用 精讲优练课型.ppt

第一章 统计案例 1.1 回归分析的基本思想及 其初步应用 【自主预习】 1.回归分析 (1)概念：回归分析是对具有相关关系的两个量进行 计分析的一种常用方法. (2)步骤：画_______→求_________→用回归方程进行 _____. 散点图 回归方程 预报 2.线性回归模型 (1)在线性回归方程 = + x中， =____________ =___________， =______，其中 =_______， =_______， ( ， )称为量_____________，回归 直线过本点的中心. 本点的中心 (2)线性回归模型y=bx+a+e，其中e称为_________， 自量x称为_____量，因量y称为_____量. 随机误差 解释 预报 3.刻画回归效果的方式 残差 把随机误差的估计值 称为相应于点(xi，yi) 的残差 残差 图 作图时纵坐标为_____，横坐标可以选为_____ _____，或_________，或___________等，这 作出的图形称为残差图 残差 本 编号 身高数据 体重估计值 残差 图法 残差点比较均匀地落在水平的带状区域中， 说明选用的模型比较合适，这的带状区域 的宽度_____，说明模型合精度越高 残差 平方 和 残差平方和为___________，残差平方和 _____，模型合效果越好 越窄 越小 相关 指数 R2 R2=1-_________，R2表示_____量对_____ 量化的贡献率，R2越接近于1，表示回归 的效果越好 解释 预报 【即时小测】 1.对于两个量x，y，若当x取一定值时，y的取值 具有一定的随机性，x，y之的这种非确定性关系 叫做(  ) A.函数关系      B.线性相关 C.相关关系 D.回归分析 【解析】选C.根据相关关系的定义知选C. 2.散点图在回归分析过程中的作用是(  ) A.计个体个数 B.比较个体数据的大小 C.研究个体分 D.粗略判断量是否线性相关 【解析】选D.根据散点图的意义及作用知选D. 3.在建立两个量y与x的回归模型中，分别选择了4个 不同的模型，它们的相关指数R2如下，其中合效果 最好的模型是(  ) A.模型1的相关指数R2=0.98 B.模型2的相关指数R2=0.80 C.模型3的相关指数R2=0.50 D.模型4的相关指数R2=0.25 【解析】选A.因为回归模型的相关指数R2的值越大， 拟合效果越好. 4.已知回归方程 =2x+1，而试验得到一组数据是(2， 4.9)，(3，7.1)，(4，9.1)，则残差平方和等于 ________. 【解析】(4.9-5)2+(7.1-7)2+(9.1-9)2=0.03. 答案：0.03 【知识探究】 探究点1 线性回归分析 1.相关关系是确定性关系吗？ 提示：相关关系是一种不确定性的关系. 2.具有线性相关关系的两个量，其散点图具有什么 特征？ 提示：散点图中的点大部分分布在一个带形区域内.即 分布在某条直线的附近. 【归纳结】 对回归分析的三点说明 (1)回归分析的前提是两个量之具有相关关系. (2)对两个量之数量化进行一般关系的测定，确 定一个相应的数学表达式，即线性回归方程，达到由 一个已知量推测或控制另一个量的值的目标，是 计的一个重要方法. (3)线性回归方程是根据本数据得到的一个确定性的 函数关系，是用来对未知量进行预测的，为了预测 的效果更好，减小误差，应在求线性回归方程时尽量 多地选取本，选择代表性较强的本，使得预测值 尽量地接近真值. 特别提醒：在对两个量进行线性回归分析时，要首 先结合观察数据画出散点图，确定它们之具有线性 相关关系后，再进行线性回归分析. 探究点2 非线性回归分析 1.如何评价回归模型合效果的优劣？ 提示：计算相关指数R2的值.R2越接近于1效果就越好. 2.对于非线性回归模型，如何理？ 提示：对于非线性回归模型可转化为线性回归模型来 研究. 【归纳结】 1.数据合效果的比较 对于给定的本点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn) ，两个含有未知参数的模型 (1) 和 (2) 其中a和b都是未知参数，可以 按如下的步骤来比较它们的合效果： ①分别建立对应于两个模型的回归方程 =f(x， ) 与 =g(x， )，其中 和 分别是参数a和b的估计值. ②分别计算模型(1)和模型(2)的R1 2，R2 2. ③若R1 2＞R2 2，则模型(1)的合效果比模型(2)好；若 R1 2＜R2 2，则模型(1)的合效果不如模型(2). 2.常的几种形形式 (1)函数曲线y=axb. 两取对数形为lny=lna+blnx，令y′=lny. x′=lnx，a′=lna，从而得到y′=a′+bx′. (2)指数函数曲线y=aeb x. 两取对数形为lny=lna+bx，令y′=lny，a′=lna ，从而得到y′=a′+bx. (3)负指数函数曲线y= 两取对数形为lny=lna+ ，令y′=lny， x′= ，a′=lna，得y′=a+bx′. (4)对数函数曲线y=a+blnx. 令x′=lnx，得y=a+bx′. 型一 线性回归模型 【典例】1.(2016·营高二检测)有下列说法：①线 性回归分析就是由本点去寻找一条直线方程，刻画 这些本点之的关系的数学方法；②利用本点的 散点图可以直观判断两个量的关系是否可以用线性 相关表示；③通过线性回归方程 及其回归系 数 ，可以估计和预报量的取值和化趋势；④因 为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程， 所以没有必要进行相关性检验.其中正确说法的个数 是(  ) A.1    B.2   C.3  D.4 2.(2014·湖北高考)根据如下本数据 得到的回归方程为 ，则(  ) x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 -0.5 0.5 -2.0 -3.0 3.某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y (单位：百万元)之有如下对应数据： (1)画出散点图. (2)求y关于x的回归方程. x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 【解题探究】1.典例1中，给定两个量的一组本点 数据，都能进行线性回归分析吗？ 提示：不是，只有当它们具有线性相关关系时，才能 进行线性回归分析，否则没有意义. 2.典例2中，回归直线方程中， ， 的几何意是什 么？ 提示： 是回归直线的斜率. 是回归直线在y轴上的 截距. 3.典例3中，画散点图的目的是什么？如何求关于x的 回归直线方程？ 提示：画散点图的目的是分析变量x，y之间是否存在 线性相关关系；利用最小二乘法求y关于x的回归直线 方程. 【解析】1.选C.①反映的是最小二乘法思想，是正确 的；②反映的是散点图的作用，是正确的；③反映的 是求线性回归方程 的目的，也是正确的； ④不正确，在求回归方程之前，必须进行相关性检验， 以体现变量的相关关系.故有3个正确说法. 2.选A.由散点图及 ， 的意义知A正确. 3.(1)散点图如图所示. (2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算. i 1 2 3 4 5 xi(百万元) 2 4 5 6 8 yi(百万元) 30 40 60 50 70 xiyi 60 160 300 300 560 于是可得 =50-6.5×5=17.5. 于是所求的回归方程是 =6.5x+17.5 【方法技巧】 1.求线性回归方程的三个步骤 (1)算：根据数据计算 (2)代：代入公式求 ， 的具体数值. (3)求：由上面的计算结果求方程 2.求线性回归方程的关键点 相关性的验证：求线性回归方程前必须判断两个量 是否线性相关，如果两个量本身不具相关关系， 或者它们之的相关关系不显著，那么即使求出回归 方程也是毫无意的. 特别提醒：回归直线一定过本点的中心( ， )， 这在很多问题的求解中起着很重要的作用. 【式训练】已知一个回归直线方程 =1.5x+45， xi∈{1，5，7，13，19}，则 =(  ) A.53.5   B.55.5   C.58.5   D.60.5 【解析】选C.因为回归直线过样本点的中心( )， 又 所以 =1.5 +45=1.5×9+45=58.5. 型二 线性回归分析 【典例】为研究质量x(单位：克)对弹簧度y(单位： 厘米)的影响，对不同质量的6个物体进行测量，数据 如表所示： x 5 10 15 20 25 30 y 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8 (1)作出散点图，并求线性回归方程. (2)求出R2. (3)进行残差分析. 【解题探究】本例中如何进行残差分析？ 提示：通过残差表或残差图进行残差分析. 【解析】(1)散点图如图所示. 因为 ×(5+10+15+20+25+30)=17.5， ×(7.25+8.12+8.95+9.90+10.9+11.8) ≈9.487， =2275， =1076.2. 计算得 ≈0.183， ≈6.285， 所以所求线性回归方程为 =6.285+0.183x. (2)列表如下： 0.05 0.005 -0.08 -0.045 0.04 0.025 -2.24 -1.37 -0.54 0.41 1.41 2.31 所以 所以 所以回归模型的拟合效果较好. (3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比 较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的 错误，如果有的话，需要纠正数据，重新建立回归模 型；由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在不超 过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回 归模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与质 量成线性关系. 【延伸探究】1.在条件不的情况下，画出残差图. 【解析】如图所示： 2.当x=35时，估计y的值. 【解析】当x=35时， =6.285+0.183×35=12.69. 【方法技巧】残差分析的思路 (1)要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否 可以用线性回归模型来合数据. (2)通过残差 来判断模型合的效果，判断 原始数据中是否存在可疑数据，这种分析工作称为残 差分析，可以借助残差图来进行观察. 【偿训练】对量x，y进行回归分析时，依据得到 的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型合精 度最高的是(  ) 【解析】选A.用残差图判断模型的拟合效果，残差点 比较均匀地落在水平带状区域中，说明这样的模型比 较合适.带状区域的宽度越窄，拟合精度越高.故选A. 型三 非线性回归分析 【典例】容器充后，压达到100V，然后开始放 ，由验知道，此后压U随时t化的规律用公 式U=Aebt(b