解线性规划问题的步骤:
(3)移:作l0,利用平移的方法找出与可行域有公共
点且纵截距最大或最小的直线;
(4)求:通过解方程组求出最优解;
(5)答:作出答案。
(2)画:画可行域;
(1)列:设出未知数,列出约束条件和目标函数;
一、复习回顾3
5
1
A
B
x
y
o
(1.5,2.5)
(-2,-1)
Zmax=17
Zmin=-11
练习:求z=3x+5y的最大值和最小值,使x,y满足约束条件
C
3x+5y=0
若约束条件改为例1、某公司计划2011年在甲、乙两个电视台做总时间不超过
300分钟的广告,广告总费用不超过9万元。甲、乙电视台的
广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟。假定甲、乙两
个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别
为0.3万元和0.2万元,问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的
广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元?
解:设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为
x分钟和y分钟,总收益为z元,由题意得
目标函数为z=3000x+2000y.
二、例题分析作出二元一次不等式组所表示的平面
区域,即可行域,如图.
由图知,当直线l过M点时,目标函数取得最大值
联立
∴点M (100,200),
答:该公司在甲电视台做100分钟广告,在乙电视台做
200分钟广告。公司的收益最大,最大值为70万元.
解得x=100,y=200,
∴zmax
=3000x+2000y=700000(元)
将z=3000x+2000y化为 .例2、某工厂生产甲、乙两种产品。已知生产甲种产品1t需消耗
A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t;生产乙种产品1t需消耗A种矿
石4t、B种矿石4t、煤9t。每1t甲种产品的利润是600元,每1t乙
种产品的利润是1000元。工厂在生产这两种产品的计划中要求
消耗A种矿石不超过300t、消耗B种矿石不超过200t、消耗煤不
超过360t。甲、乙两种产品应各生产多少(精确到0.1t),能使利
润总额达到最大?
甲产品
(1t)
乙产品
(1t)
资源限额
(t)
A种矿石(t)
B种矿石(t)
煤(t)
利润(元)
产品消耗量
资源
列表:
5
10
4
600
4
4
9
1000
300
200
360
解:设生产甲、乙两种产品,分别为 x t、yt,利润总额为z元把题中限制条件进行转化:
约束条件
10x+4y≤300
5x+4y≤200
4x+9y≤360
x≥0
y ≥0
z=600x+1000y. 目标函数:
甲产品
(1t)
乙产品
(1t)
资源限额
(t)
A种矿石(t)
B种矿石(t)
煤(t)
利润(元)
xt yt
产品消耗量
资源
5
10
4
600
4
4
9
1000
300
200
360 0
x
y
10 20
10
解:设生产甲、乙产品分别为xt、yt,则
作出以上不等式组所表示的可行域
作出一组平行直线
600x+1000y=t
解得交点M的坐标为(12.4,34.4)
10x+4y=300
5x+4y=200
4x+9y=360
600x+1000y=0
M
答:应生产甲产品约12.4吨,乙产
品34.4吨,能使利润总额达到最
大。
(12.4,34.4)
经过可行域上的点M时,目
标函数在y轴上截距最大
9030
75
40
50
40此时z=600x+1000y取得最大值.
利润总额为 z=600x+1000y 元
10x+4y≤300
5x+4y≤200
4x+9y≤360
x≥0
y ≥0例3、要将两种大小不同规格的钢板截成A、B、C三种规格,每
张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 :
解:设需截第一种钢板 x 张,第一种钢板 y 张,则
规格类型
钢板类型
第一种钢板
第二种钢板
A规格 B规格 C规格
2
1 2
1
3
1
作出可行域(如图)
目标函数为 z=x+y
今需要A,B,C三种规格的成品分别为15,18,27块,问各截这两
种钢板多少张可得所需三种规格成品,且使所用钢板张数最少。
X张
y张
2x+y≥15,
x+2y≥18,
x+3y≥27,
x≥0,x∈N
y≥0,x∈N 2x+y=15 x+2y=18 x+3y=27
x
y
O 4 8 12 16 20
4
8
12
16
20
24 28 30
B(3,9)
C(4,8)A(18/5,39/5
)
x+y =0
直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8),它们是最优解.
目标函数为z= x+y
化为y=-x+z
当直线经过点A时
z=x+y=11.4
解得交点B,C的坐标B(3,9)和C(4,8)
调整优值法
但它不是最优整数解,
作直线 x+y=12
答(略)
x+y=12
作出可行域(如图)
这是斜率为-1,纵
截距为z的一组平
行直线,经过可行域内的整点B(3,9)和C(4,8)时,t=x+y=12是最优解.
答:(略)
打网格线法
在可行域内打出网格线, 将直线x+y=11.4继续向上平移,
2x+y≥15,
x+2y≥18,
x+3y≥27,
x≥0,x∈N
y≥0,x∈N
作出一组平行直线
目标函数为
z= x+y
当直线经过点A时
z=x+y=11.4
但它不是最优整数解,
2x+y=15 x+2y=18 x+3y=27
x
y
O 4 8 12 16 20
4
8
12
16
20
24 28 30
B(3,9)
C(4,8)A(18/5,39/5)
x+y =0
x+y=12在可行域内找出最优解、线性规划整
数解问题的一般方法是:
1、若区域“顶点”处恰好为整点,那么它就是最优
解;(在包括边界的情况下)
2、若区域“顶点”不是整点或不包括边界时,应先
求出该点坐标,并计算目标函数值Z,然后在可行域
内适当放缩目标函数值,使它为整数,且与Z最接近,
在这条对应的直线中,取可行域内整点,如果没有整
点,继续放缩,直至取到整点为止。
3、在可行域内找整数解,一般采用平移找解法,即
打网络、找整点、平移直线、找出整数最优解练习.某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品,每生产
一件甲产品使用 4 个A配件耗时 1h,每生产一件乙产品使
用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A
配件和12个B配件,按每天工作8 h计算,该厂所有可能的
日生产安排是什么?
解:设甲、乙两种产品
分别生产x、y件,则有
(x,y∈Z)
A配件 B配件 耗时
甲产品
乙产品
总数
4 0 1
0 4 2
16 12 8(x,y∈Z)
x
y
O 4 8
4
2
2 6
x=4
y=3
x+2y=8
右图阴影部分中的整点
(坐标为整数)就代表所
有可能的日生产安排。
练习.某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品,每生产
一件甲产品使用 4 个A配件耗时 1h,每生产一件乙产品使
用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A
配件和12个B配件,按每天工作8 h计算,该厂所有可能的
日生产安排是什么?C
x
y
O
4
3-1
x-y+1=0
4x+3y-12=0课本P91阅读与思考:
已知 ,求4x+2y的取值范围。1≤x+y≤3
-1≤x-y≤1
x
y
1 2 3O
1
2
3
x+y=1 x+y=3x-y=1
x-y=-1
(2,1)(0,1)解线性规划应用问题的一般步骤:
2)设好变元并列出不等式组和目标函数
3)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域;
4)在可行域内求目标函数的最优解
1)理清题意,列出表格
5)还原成实际问题 (准确作图,准确计算)