第二课
数 列
【网络体系】
【核心速填】
1.数列的通项与前n项和的关系
(1)Sn=a1+a2+…+an.
(2)an=
2.等差数列
(1)通项公式：an=a1+_______，
an=am+_______.
(2)前n项和公式：Sn=________=___________.
(n-1)d
(n-m)d
(3)等差中项：若a，A，b成等差数列，则A叫作a，b的
等差中项，且有_______.
(4)常用性质：
①若m+n=p+q(m，n，p，q∈N*)，则__________；
②在等差数列{an}中，Sk，S2k-Sk，______，…成等差
数列.
a+b=2A
am+an=ap+aq
S3k-S2k
(5)等差数列的判断
①定义式：______=d(d为常数)；
②等差中项：an+an+2=_____；
③通项公式：an=dn+b；
④前n项和：Sn=an2+bn.
an+1-an
2an+1
3.等比数列
(1)通项公式：an=_____，an=_____.
(2)前n项和公式：
Sn=
a1qn-1 amqn-m
(3)等比中项：若a，G，b成等比数列，则G叫作a，b的
等比中项，且有G2=___或G=_____.
(4)等比数列的性质：
①若m+n=p+q(m，n，p，q∈N*)，则____________；
②在等比数列{an}中，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…成等比
数列.(q≠-1)
ab
am·an=ap·aq
(5)等比数列的判断：
①定义式：______(q为非零常数)；
②等比中项：an·an+2=___；
③通项公式：an=aqn(a，q为非零常数)；
④前n项和：Sn=A-Aqn(A为非零常数，q≠0且q≠1).
【易错提醒】
1.关注an与Sn的关系式的应用
应用an= 解题时，应注意分类讨论的应
用，即要注意分n=1和n≥2两种情况进行讨论.
2.重视等差(比)数列的定义
等差(比)数列的定义中都强调从第2项开始，每一项与
前一项的差(比)，是同一常数.利用定义法证明等差
(比)数列时，要特别注意n的取值范围.
3.忽视等比数列项的符号
等比数列中，奇数项(或偶数项)的符号相同，解题时
常因忽略这点而致误.
4.求等比数列的前n项和时注意分类讨论
在等比数列的公比不确定的情况下，求其前n项和时应
对公比分q=1和q≠1两种情况进行讨论.
5.找规律，“数清”数列的项数
在解答数列问题时，及时准确地“数清”数列的项数是
必不可少的，在数项数时，要把握数列的项的构成规
律，找准数列的通项公式的特点并找准项数.如果把数
列的项数弄错了，将会前功尽弃.
类型一 数列通项公式的求法
【典例1】(1)若数列{an}的前n项和Sn=2n-1，则此数列
的通项公式为an=__________.
(2)写出下面各递推公式表示的数列{an}的通项公式.
①a1=1，an+1=2n·an(n≥1)；
②a1=2，an+1=an+3n+2.
【解析】(1)当n≥2时，
an=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-2n-1=2n-1.
当n=1时，a1=S1=21-1=1，适合上式.
综上有an=2n-1.
答案：2n-1
(2)①方法一：因为an+1=2n·an，所以
所以
将上述n-1个式子累乘，得 =21+2+3+…+(n-1)，
即an= (n∈N*).
方法二：an+1=2n·an=2n·2n-1an-1
=…=2n·2n-1·…·22·21a1
=21+2+…+n-1+na1=
所以an=
②因为an+1=an+3n+2，所以an-an-1=3n-1(n≥2).
所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
= (n≥2).
当n=1时， ×(3×1+1)=2=a1，a1符合公式，
所以an=
【延伸探究】典例1(1)中的条件“Sn=2n-1”改为
“Sn=3n2-2n+1”，结果如何？
【解析】当n=1时，a1=S1=3×12-2×1+1=2；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1
=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-5，
显然当n=1时，不满足上式.
故数列的通项公式为an=
【方法技巧】数列通项公式的求法
(1)定义法，即直接利用等差数列或等比数列的定义求
通项的方法叫定义法，这种方法适用于已知数列类型
的题目.
(2)已知Sn求an.若已知数列的前n项和Sn与an的关系，
求数列{an}的通项an可用公式an= 求解.
(3)累加或累乘法
形如an-an-1=f(n)(n≥2)的递推式，可用累加法求通项
公式；形如 =f(n)(n≥2)的递推式，可用累乘法求
通项公式.
【拓展延伸】用待定系数法由递推公式求通项公式
(1)基本思路
把所给的递推关系变形，使之成为某个等差数列或等
比数列的形式，于是就可以由此推得所给数列的通项
公式.
(2)具体方法
在递推关系两边加上相同的数或相同性质的量，构造
数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之
成为等差或等比数列.例如an=can-1+d(c≠0，c≠1)的
递推关系式，在递推关系式两端同时加上A，
an+A=can-1+d+A，即an+A=
令A= ，解出A，此时数列{an+A}是等比数列，可解.
【变式训练】若a1=1，Sn= an，则通项an=____.
【解析】由题设知，a1=1.
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=
所以
所以
以上n-1个式子的等号两端分别相乘，
得到
又因为a1=1，所以an=
a1=1也符合此式，所以an=
答案：
类型二 等差数列、等比数列的判定
【典例2】(1)已知数列{an}，则有( )
A.若an
2=4n，n∈N*，则{an}为等比数列
B.若an·an+2= ，n∈N*，则{an}为等比数列
C.若am·an=2m+n，m，n∈N*，则{an}为等比数列
D.若an·an+3=an+1·an+2，n∈N*，则{an}为等比数列
(2)在数列{an}中，a1=-3，an=2an-1+2n+3(n≥2，且
n∈N*).
①求a2，a3的值.
②设bn= (n∈N*)，证明：{bn}是等差数列.
【解析】(1)选C.若a1=-2，a2=4，a3=8，满足an
2=4n，
n∈N*，但{an}不是等比数列，故A错；若an=0，满足
an·an+2= ，n∈N*，但{an}不是等比数列，故B错；
若an=0，满足an·an+3=an+1·an+2，n∈N*，但{an}不是
等比数列，故D错；若am·an=2m+n，m，n∈N*，则有
=2，则{an}是等比数列.
(2)①因为a1=-3，an=2an-1+2n+3(n≥2，且n∈N*)，所
以a2=2a1+22+3=1，a3=2a2+23+3=13.
②对于任意n∈N*，
因为
= [(2n+1+3)-3]=1，
所以数列{bn}是首项为 =0，公差为1的等
差数列.
【方法技巧】等差数列、等比数列的判断方法
(1)定义法：an+1-an=d(常数)⇔{an}是等差数列；
=q(q为常数，q≠0)⇔{an}是等比数列.
(2)中项公式法：2an+1=an+an+2⇔{an}是等差数列；
=an·an+2(an≠0)⇔{an}是等比数列.
(3)通项公式法：an=kn+b(k，b是常数)⇔{an}是等差数
列；an=c·qn(c，q为非零常数)⇔{an}是等比数列.
(4)前n项和公式法：Sn=An2+Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔
{an}是等差数列；Sn=Aqn-A(A，q为常数，且A≠0，
q≠0，q≠1，n∈N*)⇔{an}是等比数列.
【变式训练】已知数列{an}是各项均为正数的等差数
列，且lga1，lga2，lga4成等差数列，又bn= ，n=1
，2，3，…，求证数列{bn}为等比数列.
【证明】因为lga1，lga2，lga4成等差数列，
所以2lga2=lga1+lga4=lg(a1·a4)，所以a2
2=a1·a4.
设等差数列{an}的公差为d，则(a1+d)2=a1(a1+3d)，
所以d2=a1·d，所以d(a1-d)=0，
所以d=0或d=a1.
①当d=0时，{an}为常数列，{bn}也为常数列，此时数
列{bn}是首项为正数，公比为1的等比数列.
②当d=a1时， =a1+(2n-1)d=2nd，
因为a1>0，所以d>0，所以bn= 显然bn≠0.
所以 (n≥1)，
此时数列{bn}是首项为b1= ，公比为 的等比数列.
综上可知，数列{bn}是等比数列.
【补偿训练】已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，
bn=an+1(n∈N*).
(1)求证：{bn}是等比数列.
(2)求{an}的通项公式.
【解析】(1)因为an+1=2an+1，所以an+1+1=2(an+1)，即
bn+1=2bn.因为b1=a1+1=2≠0，所以bn≠0.所以 =2，
所以{bn}是等比数列.
(2)由(1)知{bn}是首项b1=2，公比为2的等比数列，
所以bn=2×2n-1=2n，即an+1=2n，所以an=2n-1.
类型三 数列求和
【典例3】(1)数列{an}中，an= Sn=9，则
n=____.
(2)(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知{an}是递增的等差数
列，a2，a4是方程x2-5x+6=0的根.
①求{an}的通项公式.
②求数列{ }的前n项和.
【解析】(1)an=
所以Sn=
= -1=9，
所以n=99.
答案：99
(2)①方程x2-5x+6=0的两根为2，3，
由题意得a2=2，a4=3，设数列{an}的公差为d，
则a4-a2=2d，故d= ，从而a1= ，
所以{an}的通项公式为an= n+1.
②设数列{ }的前n项和为Sn，
由①知
则Sn=
两式相减得：
所以Sn=2-
【方法技巧】数列求和的常用方法
(1)公式法.
(2)分组求和法.
(3)倒序求和法.
(4)错位相减法.
(5)裂项相消法.把数列的通项拆成两项之差，在求和
时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.
(6)并项求和法.一个数列的前n项和中，可两两结合求
解，则称之为并项求和.形如an=(-1)nf(n)类型，可采
用两项合并求解.
【变式训练】已知函数f(x)=2x-3x-1，点(n，an)在
f(x)的图象上，数列{an}的前n项和为Sn，求Sn.
【解析】由题得an=2n-3n-1，
Sn=a1+a2+…+an
=(2+22+…+2n)-3(1+2+3+…+n)-n
【补偿训练】设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数
的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13.
(1)求{an}，{bn}的通项公式.
(2)求数列{ }的前n项和Sn.
【解析】(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，
则依题意有q>0且 解得
所以an=1+×2=2n-1，bn=1×2n-1=2n-1.
(2)
②-①，得Sn=
类型四 函数思想在数列中的应用
【典例4】(1)(2015·益阳高二检测)已知an=
（n∈N*），则在数列的前50项中最小项和最大项分
别是( )
A.a1，a50 B.a1，a8
C.a8，a9 D.a9，a50
(2)已知数列{an}满足a1=0，an+1= (n∈N*)，则
a2015=__________.
【解析】(1)选C.an=
=1+ ，因为 >0，
所以y=1+ 在(-∞， )上是减函数，在(
+∞)上为减函数，又8< a1>a2>…>a8，10，
可得a1=S1>0，q≠0.
当q=1时，Sn=na1>0；
当q≠1时，Sn= >0，
所以 >0.
所以 或
所以-1
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