第三课
不 等 式
【网络体系】
【核心速填】
1.比较两实数a，b大小的依据
a-b>0⇔____.a-b=0⇔____.a-bb a=b ab，那么b__a；如果bb⇔bb，b>c，那么a__c，即a>b，b>c⇒a__c.
性质3 如果a>b，那么a+c__b+c.
性质4
如果a>b，c>0，那么ac__bc，
如果a>b，c
> >
>
>
b，c>d，那么a+c__b+d.
性质6 如果a>b>0，c>d>0，那么ac__bd.
性质7 如果a>b>0，那么an__bn，(n∈N*，n≥1).
性质8 如果a>b>0，那么 (n∈N*，n≥2).
>
>
>
3.一元二次不等式与相应二次函数、一元二次方程的
关系
设f(x)=ax2+bx+c，方程ax2+bx+c=0(a>0)的判别式Δ=b2-4ac
判别式 Δ>0 Δ=0 Δ0)的判别式Δ=b2-4ac
方程
f(x)
=0的
根
(2)画函数
y=f(x)的示
意图
(3)得
不等
式的
解集
f(x)
>0 ____________ _________ __
f(x)
0，
b>0)
“a=b”时取等号
【易错提醒】
（1）求解一元二次不等式时注意讨论二次项系数是否
为零，容易在解题中忽略.
（2）利用线性规划求最值时容易弄错直线间倾斜角之
间的大小关系，要掌握利用斜率的大小判断倾斜角的
大小的方法.
（3）利用基本不等式求最值时，注意对式子的整体变
换，如果多次利用基本不等式则要保证每一个等号同
时取到.
类型一 不等式性质的应用
【典例1】(1)如果a∈R，且a2+aa>-a>-a2 B.-a>a2>-a2>a
C.-a>a2>a>-a2 D.a2>-a>-a2>a
(2)(2015·玉林高二检测)若A=(x+3)(x+7)，
B=(x+4)(x+6)，则A，B的大小关系为__________.
【解析】(1)选B.因为a2+a1；⑥a2+b2+
1>ab+a+b.其中一定成立的不等式的序号是_______.
【解题指南】解此类问题主要是依据不等式的性质进行
判断，其实质就是看是否满足相关性质所需要的条件.
【解析】①若a>0，bb，故a3>b3，故②成立；
③取a=0，b=-1，知③不成立；④当c=0时，2ac2=2bc2
，故④不成立；⑤取a=1，b=-1，知⑤不成立；⑥因为
a2+b2+1-(ab+a+b)= [(a-b)2+(a-1)2+(b-1)2]>0，所以
a2+b2+1>ab+a+b，故⑥成立.
答案：②⑥
类型二 不等式的解法
【典例2】(2015·遵义高二检测)若不等式(1-a)x2-
4x+6>0的解集是{x-30，
解得x .
所以所求不等式的解集为{x|x }.
(2)ax2+bx+3≥0，即为3x2+bx+3≥0.
若此不等式解集为R，则b2-4×3×3≤0，所以-6≤
b≤6.
【延伸探究】若本例(2)中不等式改为bx2+3x+3≥0，
如何求解？
【解析】当b=0时，原不等式化为3x+3≥0，不满足解
集为R；
当b≠0时，则
解得b≥ ，综上知，b≥ .
【方法技巧】不等式的解法
(1)一元二次不等式的解法
①将不等式化为ax2+bx+c>0(a>0)
或ax2+bx+c0)的形式；
②求出相应的一元二次方程的根或利用二次函数的图
象与根的判别式确定一元二次不等式的解集.
(2)含参数的一元二次不等式
解题时应先看二次项系数的正负，其次考虑判别式，
最后分析两根的大小，此种情况讨论是必不可少的.
【变式训练】(2015·武汉高二检测)已知a
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