“负负得正”的乘法法则可以证明吗
关于“负负得正”的乘法法则,是否可以通过证明来确认这条法则呢?这个
问题历来被老师们关注,有关专家对此也有各种看法,现将一篇文章转摘如下,
供老师们参考(田载今,中学数学教学参考,2005 年第 3 期)。
有理数的乘法法则中包括“负负得正”一条,“两个负有理数相乘,结果(积)
是一个正有理数,其绝对值等于相乘两数的绝对值的乘积.”例如,(-2)×(-
3)=+6。
这条法则对刚学它的人来说,不是很容易理解,多数人是把它硬记下来的.
记得水稻专家袁隆平院士说过他学正负数时想不清这个法则的道理,就去向老师
请教,老师说:“你记住就行了.”
编写教材时,大家为说明这条法则的道理想了很多办法,有的教材以实际问
题为背景来说明,有的教材从运算律的角度进行说明,有的教材利用相反数的意
义解释……
教学中,许多老师都反映这条法则的道理不是很好讲.也有人考虑:是否可以
通过证明来确认这条法则呢?教科书中哪种说法可以算是对它的证明呢?
一种意见认为,“负负得正”有着丰富的实际背景,实践是检验真理的标准,
这些实际背景对这一 法则的证明.例如,考虑这样的问题:如果水位一 直以每小
时 2 厘米的速度下降,现在水位在水文标尺刻度的 A 处,3 小时前水位在水文标
尺的刻度在何处?为区分水位变化方向,我们规定水位上升为正,下降为负;显
然 3 小时前水位在水文标尺刻度的 A 处上方 6cm 处,这可以表示为(-2)×(-
3)=+6.在许多情况下,都能找到类似这样的“负负得正”的原型,因此,“负
负得正”可以认为是通过客观实践检验证明的.
上面的意见中,以“实际事物的原型”替代“数学的证明”的做法是不妥的.
数学中的证明不是个例的验证,数学不是物理、化学、生物那样的实验科学,它
的命题具有一般性,不能依靠检验个别案例完成对一般结论的证明,而需要依据
已有的结论(定义、公理和定理等)经合乎逻辑的推导来证明.这些客观事物中
的原型,只有在人为地规定问题中有关量的正负意义之后,即经过数学化、抽象
化之后,才具有了“负负得正”的意义,它们只能说明“负负得正”有 实际背
景,或作为应用“负负得正”法则的例子,而不能作为逻辑地推导这个法则的根
据.
另一种意见认为,可以通过运算律来证明“负负得正”这一法则,具体推导
过程如下:
有了有理数的加法法则以及“正正得正”,“正负得正”的乘法法则之后,由
分配律,有
(-1)×(-1)=(-1)×(1-2)
=(-1)×1-(-1)×2=-1-(-2)=-1+2=1 .
进而由交换律和结合律可以推出任何两个负数相乘的结果,例如,
(-2)×(-3)=(-1)×2×(-1)×3=(-1)×(-1)×2×3 =
[(-1)×(-1)]×(2×3)=1×6=6.
于是,得出“负负得正”这一法则.
笔者认为,上面的意见中在应用分配律时,用到了
(-1)×(1-2)=(-1)×1-(-1)×2. (1)
当确立了有理数的加法法则以及“正正得正”,“正负得负”的乘法法则,而
尚未确立“负负得正”这一法则时,这样做是缺乏根据的.
在这时,我们可以确信(-1)×(2-1)=(-1)×2-(-1)×1.⑵
这是因为⑵的左边为 (-1)×(2-1)=(-1)×1=-1.
⑵的右边为 (-1)×2-(-1)×1= -2-(-1)=-2+1=-1.
所以(2)的左边等于右边,即(2)成立.但是,我们不能用类似的方法推出⑴成
立,因为⑴的左边为 (-1)×(1-2)=(-1)×(-1),而(-1)×(-1)
的法则此时尚未成立,所以无法确定⑴的左边是否等于右边,即此时分配律等于
(-1)×(1-2)是否适用尚且存疑。先确定运算法则,后才能确定那些运算律
成立,是合乎逻辑顺序的做法.这就是说,只有当(-1)×(-1)的结果确定后,
才能明确(1)成立.因此,像上面那样用分配律推导“负负得正”的法则有循环论
证之嫌.
还有一种意见认为,如果在确立了通常的有理数加法法则后,把有理数的乘法
定义为一种抽象的运算(即先不规定具体的乘法运算法则),并从抽象代数角度约
定有理数集合连同加法、乘法运算构成一个域,那么就能推导出通常的具体的有
理数乘法法则,自然也就推出了“负负得正”.
笔者认为,事实上并非如此,请看下面反例.
我们这样规定有理数的乘法“ ”:对于任意两个有理数 a 、b 它们的“乘
积”a b=-ab 即这样“乘积”等于通常乘法的乘积的相反数.
可以验证,-1 是这种“乘法”的单位元,对任意非零有理数 x,他的逆元
是- ,并且 (a b) c=a (b c)(结合律); a b=b a(交换律);
a (b+c)=a b+a c(分配律)在有理数结合内都成立.因此,有理数集
合 Q 连同通常意义的有理数加法“+”、如上定义的有理数的乘法“ ”,满足抽
象代数中域的定义,即{Q,+, }是一个域.但是,这个“乘法”法则不是
“负负得正”,而是“负负得负.”
上述反例证明,在确立了有理数通常的加法法则,并约定有理数集合连同加
法、乘法运算构成一个域的条件下,并不能一定得出“负负得正”的乘法法则.
第四种意见证明,如果先确立通常的有理数的加法法则以及两个非负有理数
的乘法(及算术中的乘法)法则,然后再把含有负因数的有理数乘法定义为一种
抽象的运算,并把这种抽象的乘法运算连同算术中的乘法合起来作为整个有理数
的乘法法则,并且约定有理数集合连同加法、乘法运算构成一个域,那么就能推
导出通常的有理数乘法法则,自然也就推出了“负负得正”.具体推导过程如下:
由于约定了有理数集合连同加法、乘法运算构成一个域,根据分配律
(-1)×1=(1-2)×1=1×1-2×1=1-2=-1,(-1)×2=(-1)×(1+1)
=(-1)×1+(-1)×1=-1+(-1)=-2,
(-1)×(-1)=(-1)×(1-2)=(-1)×1-(-1)×2=-1-(-2)
=-1+2=1,
因此,(-1)×(-1)=1。在此基础上,由交换律和结合律可以推出任何
两个负数相乘的法则,即两个负有理数相乘,结果(积)是一个正有理数,其绝
对值等于相乘两数的绝对值的乘积.
这种意见中,作为推理依据除了确定加法法则及部分乘法法则外,还有“有
理数集合连同加法、乘法运算构成一个域”这个重要的约定,然而,在乘法法则
尚未确定之前,就做出这个约定在逻辑上是否合适呢?
应先完全确定有理数的加法和乘法的具体法则,才能根据域的定义判断{Q,
+,X}是一个域,这是一种合乎逻辑的推理顺序.而像上面那样先约定{Q,+,
⊗
⊗
x1 ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗
⊗ ⊗ ⊗
⊗
⊗
X}是一个域,再由约定去确定乘法法则的过程,恰与正常的推理顺序相反.这样
进行本未倒置的分析,目的在于说明确定乘法法则的一种意图,即使新确定适用
于 Q 的乘法法则与已有的算术中的乘法法则不矛盾,并且能使{Q,+,X}是一
个域.这样的分析只能说明确定有理数乘法法则的思想背景,而不能认为是合乎
逻辑地导出了有理数的乘法法则.
代数中类似上面那样说明某种规定的背景的例子有许多,例如下面的对规定
a0=1(a≠0)的解释.
我们已知,同底数幂除法法则,即 am÷an=am-n(a≠0,m、n∈N+,m>n)。如果
这一法则在 a≠0,m、n N+,m=n 时也适用,则有 am÷am=am-m=a0 另一方面,显然
有 am÷am=1。于是,规定 a0=1(a≠0).
这里的“这一法则在 a≠0,m、n∈N+,m=n 时也适用”事先缺乏根据,而只
是一种假设,借以作为后面如何具体定义 0 指数幂的背景.因为“这一法则在 a≠
0,m、n∈N+,m=n 时也适用”这个前提条件,在未定义 0 指数幂前还未落实,所
以不能认为由这个空中楼阁可以推导 a0=1(a≠0),否则就犯了推理理由不真实和
循环论证的逻辑错误.这个问题与前面第四种意见的做法是类似的,类比他们可
以帮助我们认识到第四种意见的做法并非证明.
综上所述,“负负得正”的乘法法则是数学中的一种规定(定义),它不能通
过逻辑证明得出.然而,对这个法则的规定既有客观世界中的实际背景,又有数
学内部需要和谐发展的思想背景.教学中适当地介绍这些材料,可以帮助学生认
识乘法法则的由来和合理性,但是不能将这样做误认为证明这个法则.
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