高中数学人教版选修1-2同课异构教学课件：2.1.1 合情推理 精讲优练课型.ppt

第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理  【自主预习】 1.归纳推理和类比推理 归纳推理 类比推理 定 义 由某类事物的_________具 有某些特征,推出该类事物 的_________都具有这些特 征的推理,或者由_________ 概括出一般结论的推理,称 为归纳推理(简称_____) 由两类对象具有_____ ________和其中一类 对象的_____________, 推出另一类对象也具 有_________的推理称 为类比推理(简称____) 特 征 归纳推理是由_____到 ____、由_____到_____的 推理 类比推理是由_____ 到_____的推理 部分对象 全部对象 个别事实 归纳 某些 类似特征 某些已知特征 这些特征 类比 部分 整体 个别 一般 特殊 特殊 2.合情推理 含义 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过 _____、_____、比较、_____,再进行_____、_____, 然后提出_____的推理.我们把它们统称为合情推理. 通俗地说,合情推理是指“合乎情理”的推理 过程 观察 分析 联想 归纳 类比 猜想 猜想 【即时小测】 1.观察下列各式:72=49,73=343,74=2401,…,则72017的 末尾两位数字为 (  ) A.01   B.43   C.07   D.49 【解析】选C.因为71=7,72=49,73=343,74=2401,75= 16807,76=117649,…,可见这些数的末尾两位数字是周 期性出现,且周期T=4. 又2017=4×504+1, 所以72017的末尾两位数字与71的末尾两位数字相同,是 07. 2.数列2,5,11,20,x,47,…中的x的值为 (  ) A.28   B.32  C.33   D.27 【解析】选B.由已知得5-2=3,11-5=6=2×3,20-11=9= 3×3,x-20=4×3,所以x=32. 3.下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为 类比对象较为合适 (  ) A.三角形 B.梯形 C.平行四边形 D.矩形 【解析】选C.平行四边形,对边平行且相等,平行六面 体,对面平行且全等. 【知识探究】 探究点1 归纳推理 1.归纳推理是从特殊到一般的推理吗? 提示:是从特殊到一般的推理. 2.归纳推理所得的结论一定正确吗? 提示:归纳推理所得结论不一定正确,需验证或证明. 【归纳总结】 归纳推理的四个特点 (1)前提:几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是尚属 未知的一般现象,该结论超越了前提所包括的范围. (2)结论:具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻 辑证明和实践检验,因此,归纳推理不能作为数学证明 的工具. (3)步骤:先搜集一定的事实资料,有了个别性的、特殊 性的事实作为前提,然后才能进行归纳推理,因此归纳 推理要在观察和试验的基础上进行. (4)作用:具有创造性的推理,通过归纳推理能够发现新 事实,获得新结论,是科学发现的重要手段. 探究点2 类比推理 1.类比推理是从特殊到一般的推理吗? 提示:不是,类比推理是从特殊到特殊的推理. 2.类比推理得出的结论正确吗? 提示:类比推理得出的结论不一定正确. 3.什么样的两类对象才可以类比? 提示:两类对象必须具有可比性,即必须具有类似特征. 【归纳总结】 类比推理的三个特点 (1)类比推理结论的猜测性.类比推理是从人们已经掌 握了的事物的特征,推测正在被研究的事物的特征,所 以类比推理的结果具有猜测性,不一定可靠. (2)类比在数学发现中具有重要作用.例如,通过空间与平 面、向量与数、无限与有限、不等与相等的类比,发现可 以研究的问题及其研究方法. (3)类比推理的关键点.由于类比推理的前提是两类对 象之间具有某些可以清楚定义的类似特征,所以进行类 比推理的关键是明确指出两类对象在某些方面的类似 特征. 易错警示:归纳推理是对同类对象,而类比推理是针对 两类对象之间的推理. 类型一 归纳推理 【典例】1.(2014·陕西高考)观察分析下表中的数据: 猜想一般凸多面体中,F,V,E所满足的等式是________. 多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E) 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体 6 8 12 2.(2016·聊城高二检测)由下列各式: 13=12 13+23=32 13+23+33=62 13+23+33+43=102 请你归纳出一般结论. 【解题探究】1.典例1求解的关键是什么? 提示:观察表中数据分析出顶点数、面数,棱数的关系 是解题的关键. 2.典例2中各等式的结构特征是什么? 提示:等式左边是几个连续自然数的立方和,右边是这 几个连续自然数和的平方. 【解析】1.因为5+6-9=2,6+6-10=2,6+8-12=2,所以V+F -E=2. 答案:V+F-E=2 2.观察已知各式的构成规律可以发现,各等式左边是几 个连续自然数的立方和,右边是这几个连续自然数和的 平方. 即一般结论为13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2. 【方法技巧】 1.由已知数式进行归纳推理的步骤 (1)分析所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面 的变化规律或结构形式的特征. (2)提炼出等式(或不等式)的综合特点. (3)运用归纳推理得出一般结论. 2.归纳推理在图形中的应用策略 【拓展延伸】归纳推理的基本逻辑形式 S1具有(或不具有)P, S2具有(或不具有)P, …… Sn具有(或不具有)P(S1,S2,…,Sn是A类事物的对象),由 此猜想:A类事物具有(或不具有)P. 【变式训练】(2016·菏泽高二检测)有两种花色的正 六边形地面砖,按如图的规律拼成若干个图案,则第六 个图案中有菱形花纹的正六边形的个数是 (  ) A.26     B.31     C.32     D.36 【解题指南】数出前三个图案中有菱形花纹的正六边 形个数,注意分析规律,由此规律作出推断. 【解析】选B.有菱形花纹的正六边形个数如下表: 图案 第一个 第二个 第三个 … 个数 6 11 16 … 由表可以看出有菱形花纹的正六边形的个数依次组成 一个以6为首项,以5为公差的等差数列,所以第六个图 案中有菱形花纹的正六边形的个数是6+5×(6-1)=31. 类型二 类比推理 【典例】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.设a,b,c分别表 示三条边的长度,由勾股定理,得c2=a2+b2. 类比平面内直角三角形的勾股定理, 试给出空间中四面体性质的猜想. 【解题探究】典例中直角三角形满足两边垂直,在空间 中的四面体应满足什么特征? 提示:考虑到直角三角形的两条边互相垂直,我们可以 选取有3个面两两垂直的四面体,作为直角三角形的类 比对象. 【解析】如题图,在Rt△ABC中,∠C=90°.设a,b,c分别 表示3条边的长度,由勾股定理,得c2=a2+b2.类似地,如 图所示,在四面体P-DEF中,∠PDF=∠PDE=∠EDF=90°. 设S1,S2,S3和S分别表示△PDF,△PDE,△EDF和△PEF的 面积,相应于直角三角形的两条直角边a,b和1条斜边c, 图中的四面体有3个“直角面”S1,S2,S3和1个“斜 面”S.于是,类比勾股定理的结构,我们猜想 【延伸探究】1.把题设条件“由勾股定理,得c2=a2+b2” 换成“cos2A+cos2B=1”,则在空间中,给出四面体性质 的猜想. 【解析】如图,在Rt△ABC中,cos2A+cos2B= . 于是把结论类比到四面体P-A′B′C′中,我们猜想,三 棱锥P-A′B′C′中,若三个侧面PA′B′,PB′C′, PC′A′两两互相垂直,且分别与底面所成的角为 α,β,γ,则cos2α+cos2β+cos2γ=1. 2.如图,作CD⊥AB于D,则有 .类比该性质, 试给出空间中四面体性质的猜想,并证明. 【解析】类比猜想: 在四面体ABCD中,AB,AC,AD两两垂直,AE⊥平面BCD, 则 如图,连接BE交CD于F,连接AF,因为 AB⊥AC,AB⊥AD,AC∩AD=A, 所以AB⊥平面ACD, 而AF⊂平面ACD,所以AB⊥AF, 在Rt△AEF中,AE⊥BF, 所以 易知在Rt△ACD中,AF⊥CD, 所以 所以 【方法技巧】类比推理的一般步骤 【补偿训练】(2016·安庆高二检测)如图所示,在 △ABC中,射影定理可表示为a=b·cosC+c·cosB.其中 a,b,c分别为角A,B,C的对边,类比上述定理,写出对空 间四面体性质的猜想. 【解析】如图,在四面体P-ABC中,S1,S2,S3,S分别表示 △PAB,△PBC,△PCA,△ABC的面积;α,β,γ分别表示 平面PAB、平面PBC,平面PCA与底面ABC所成的二面角. 我们猜想射影定理类比到空间得 S=S1cosα+S2cosβ+S3cosγ. 自我纠错 类比推理 【典例】若数列{an}(n∈N*)是等差数列,则有数列 (n∈N*)也是等差数列. 类比上述性质,相应地: 若数列{cn}(n∈N*)是等比数列,且cn>0,则数列 dn=_________(n∈N*)也是等比数列. 【失误案例】 分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案. 提示:错误的根本原因是忽视了对等差数列中“除法运 算的类比.正确解答过程如下: 【解析】由等差、等比数列之间的运算的相似特征知 ,容易得出dn= 也是等比数列. 答案: