高中数学人教版选修1-2同课异构教学课件：2.1.1 合情推理 探究导学课型.ppt

第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理 主题一：归纳推理 【自主认知】 1.在以前的数学学习中，我们知道三角形的内角和是180°，那么凸 四边形的内角和是多少呢？凸五边形的内角和呢？ 提示：凸四边形的内角和是360°=2×180°，凸五边形的内角和是 540°=3×180°. 2.你能归纳出凸n(n≥3，n∈Z)边形的内角和是多少吗？ 提示：凸n(n≥3，n∈Z)边形的内角和是(n-2)·180°. 3.阅读下面的材料，考虑这几则材料在预测结果时有什么共同的特点 ？ (1)成语“一叶知秋”意思是从一片树叶的凋落，知道秋天将要来到. (2)谚语“瑞雪兆丰年”. (3)物理学中牛顿发现万有引力. (4)化学中的门捷列夫元素周期表. 提示：它们都是由细微的迹象看出整体形势的变化，由个别推知一般. ➡根据以上探究过程，试着写出归纳推理的定义： (1)定义：由某类事物的_____对象具有某些特征，推出该类事物的 _____对象都具有这些特征的推理，或者由_________概括出_____ _____的推理，称为归纳推理(简称归纳). (2)简述：归纳推理是由_____到_____、由_____到_____的推理. 部分 全部 个别事实 一般 结论 部分 整体 个别 一般 【合作探究】 1.归纳推理的前提和结论是什么？ 提示：归纳推理的前提是一些关于个别事物或现象的判断，而结论是 关于该类事物或现象的普遍性判断. 2.你能概括出归纳推理解决问题的思维过程吗？ 提示：其思维过程为：试验、观察→概括、推广→猜测一般性结论. 【过关小练】 1.数列2，5，11，20，x，47，…中的x等于(  ) A.28 B.32 C.33 D.27 【解析】选B.由以上各数可得每两个数之间依次差3，6，9，12，… ，故x=20+12=32. 2.已知数列{an}中，a1=1，an+1= (n∈N*)，则可归纳猜想{an} 的通项公式为    . 【解析】由条件可知： 由此可猜测an= 答案：an= 主题二：类比推理 【自主认知】 已知三角形的如下性质，据此回答下列问题 ①三角形的两边之和大于第三边； ②三角形的面积等于高与底乘积的 (1)试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质. 提示：①四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积； ②四面体的体积等于底面积与高乘积的 (2)以上两个推理有什么共同特点？ 提示：都是根据三角形的特征，类比四面体相关元素得出结论的. ➡根据以上探究过程，试着写出类比推理的定义： 1.类比推理 (1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中_____对象的某些已 知特征，推出_______对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简 称类比). (2)简述：类比推理是由_____到_____的推理. 一类 另一类 特殊 特殊 2.合情推理 (1)定义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、 _____、_____、联想，再进行归纳、类比，然后提出_____的推理， 我们把它们统称为合情推理. (2)推理的过程： 分析 比较 猜想 分析 比较 猜想 【合作探究】 1.归纳推理与类比推理有没有共同点？ 提示：有.二者都是从具体事实出发，推断猜想新的结论. 2.归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？ 提示：不一定.归纳推理的前提和结论之间的联系不是必然的，而是 偶然性的，结论不一定正确；而类比推理的结果具有猜测性，也不一 定可靠，因此也不一定正确. 【过关小练】 1.已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式： S= ，可推知扇形面积公式S扇等于(  ) 【解析】选C.底 弧长l，高 半径r，故选C. 2.正方形的面积为边长的平方，则在空间中，与之类比的结论是       . 【解析】由平面中正方形的面积为边长的平方，则在空间中可类比得 到正方体的体积为棱长的立方. 答案：正方体的体积为棱长的立方 【归纳总结】 1.归纳推理的特点 (1)归纳推理是由几个已知的特殊情况归纳出一般性的结论，该结论 超越了前提所包含的范围. (2)归纳出的结论具有猜测性质，是否属实，还需逻辑证明和实践检 验，即结论不一定可靠. (3)归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想可 以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题. 2.类比推理的特点 (1)类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究中的事物 的属性，以旧认识为基础，类比出新结果. (2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.如果类 比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得 出的命题越可靠. (3)类比的结果是猜测性的，不一定正确.但它却具有发现的功能. 3.类比推理的适用前提 (1)运用类比推理的前提是两类对象在某些性质上有相似性或一致性， 关键是把这些相似性或一致性确切地表述出来，再由一类对象具有的 特性去推断另一类对象也可能具有此类特性. (2)运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象. 类型一：归纳推理在数、式中的应用 【典例1】(1)观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7， a5+b5=11，…，则a10+b10=(  ) A.28 B.76 C.123 D.199 (2)已知f(x)= ，设f1(x)=f(x)，fn(x)=fn-1(fn-1(x))(n>1，且 n∈N*)，则f2(x)的表达式为    ，猜想fn(x)(n∈N*)的表达式 为       . 【解题指南】(1)记an+bn=f(n)，观察f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5) 之间的关系，再归纳得出结论. (2)写出前几项发现规律，归纳猜想结果. 【解析】(1)选C.记an+bn=f(n)，则f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4； f(4)=f(2)+f(3)=3+4=7；f(5)=f(3)+f(4)=11.通过观察不难发现f(n)=f (n-1)+f(n-2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)=f(4)+f(5)=18； f(7)=f(5)+f(6)=29；f(8)=f(6)+f(7)=47；f(9)=f(7)+f(8)=76； f(10)=f(8)+f(9)=123. 所以a10+b10=123. (2)因为f(x)= ，所以f1(x)= 又因为fn(x)=fn-1(fn-1(x))， 所以f2(x)=f1(f1(x))= f3(x)=f2(f2(x))= f4(x)=f3(f3(x))= f5(x)=f4(f4(x)) = 所以根据前几项可以猜想fn(x)= 答案： 【延伸探究】本例(2)中，若把“fn(x)=fn-1(fn-1(x))”改为“fn(x)=f(fn -1(x))”，其他条件不变，其结论fn(x)的表达式如何呢？ 【解析】因为f(x)= 所以f1(x)= 又因为fn(x)=f(fn-1(x))， 所以f2(x)=f(f1(x))= 所以根据前几项可以猜想fn(x)= 【规律总结】数、式中归纳推理的一般规律 (1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法 ①要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规 律； ②要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征； ③提炼出等式(或不等式)的综合特点； ④运用归纳推理得出一般结论. (2)数列中的归纳推理 在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和. ①通过已知条件求出数列的前几项或前几项和； ②根据数列中的前几项或前几项和与对应序号之间的关系求解； ③运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式. 【巩固训练】(2015·西安高二检测)已知数列{an}的前n项和为S， a1=3，满足Sn=6-2an+1(n∈N*).(1)求a2，a3，a4的值.(2)猜想an的 表达式. 【解析】(1)因为a1=3，且Sn=6-2an+1(n∈N*)， 所以S1=6-2a2=a1=3 解得a2= 又S2=6-2a3=a1+a2=3+ 解得a3= 又S3=6-2a4=a1+a2+a3=3+ 所以有a4= (2)由(1)知 猜想an= (n∈N*). 【补偿训练】观察下列等式          1=1，          2+3+4=9，          3+4+5+6+7=25，          4+5+6+7+8+9+10=49 照此规律，第五个等式为    . 【解析】观察等式左侧：第一行有1个数是1，第二行是3个连续自然 数的和，第一个数是2，第三行是5个连续自然数的和，第一个数是3 ，第四行是7个连续自然数的和，第一个数是4.照此规律，第5行应该 是连续9个自然数的和，第一个数为5，所以第5行左侧： 5+6+7+8+9+10+11+12+13；等式右侧：第一行1=12，第二行9=32，第三 行25=52，第四行49=72，则第5行应为81=92. 所以第五个等式为5+6+7+8+9+10+11+12+13=81. 答案：5+6+7+8+9+10+11+12+13=81 类型二：归纳推理在几何中的应用 【典例2】(1)(2015·广元高二检测)下图为一串白黑相间排列的珠 子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色(  ) A.白色 B.黑色 C.白色可能性大 D.黑色可能性大 (2)(2014·陕西高考)观察分析下表中的数据： 猜想一般凸多面体中，F，V，E所满足的等式是    . 多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E) 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体 6 8 12 (3)如图，连接△ABC的各边中点得到一个新的△A1B1C1，又连接 △A1B1C1的各边中点得到△A2B2C2，如此无限继续下去，得到一系列三 角形：△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2，…，这一系列三角形趋向于一个 点M，已知A(0，0)，B(3，0)，C(2，2)，则点M的坐标是    . 【解题指南】(1)由珠子的排列分析可知其具有周期性. (2)本题是对欧拉公式的考查，观察图形准确数出各图形的顶点数、 面数、棱数是解题的关键. (3)根据题意，由△ABC确定△A1B1C1，依次确定△A2B2C2，…，最终逼 近△ABC三条中线的交点，从而可得结论. 【解析】(1)选A.由图知：三白二黑周而复始相继排列，36÷5=7余1 ，所以第36颗珠子的颜色为白色. (2)因为5+6-9=2， 6+6-10=2， 6+8-12=2， 所以F+V-E=2. 答案：F+V-E=2 (3)由△A1B1C1的三个顶点分别在△ABC的三条中线上，△A2B2C2的三 个顶点分别在△A1B1C1的三条中线上，△A3B3C3的三个顶点分别在 △A2B2C2的三条中线上，…，由此类推，这一系列的三角形的顶点 无限逼近△ABC的重心. 故由已知可得，点M的坐标为   答案： 【规律总结】 1.几何问题中推理的特点 由一组平面或空间图形，归纳猜想其几何元素数量的变化规律，这类 题颇有智力趣题的味道，需要仔细观察，从不同的角度探索规律. 2.利用归纳推理解决几何问题的两个策略 (1)通项公式法：数清所给图形中研究对象的个数，列成数列，观察 所得数列的前几项，探讨其变化规律，归纳猜想通项公式. (2)递推公式法：探究后一个图形与前一个图形中研究对象的个数之 间的关系，把各图形中研究对象的个数看成数列，列出递推公式，再 求通项公式. 【巩固训练】(1)(2015·太原高二检测)用火柴棒摆“金鱼”，如图 所示： 根据上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为(  ) A.6n-2 B.8n-2 C.6n+2 D.8n+2 (2)(2015·青岛高二检测)某种平面分形图如图所示，一级分形图是 由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图 是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来 的线 段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n级 分形图. ①n级分形图中共有    条线段； ②n级分形图中所有线段长度之和为    . 【解析】(1)选C.由图形的变化规律可以看出，后一个图形比前一个 图形多6根火柴棒，第一个图形为8根，可以写成a1=8=6+2，又 a2=14=6×2+2，a3=20=6×3+2，…，所以可以猜测，第n个“金鱼”图 需要火柴棒的根数为6n+2. (2)①分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一 级分形图有3=(3×2-3)条线段，二级分形图有9=(3×22-3)条线段， 三级分形图中有21=(3×23-3)条线段，按此规律n级分形图中的线段 条数为3×2n-3(n∈N*). ②分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来 的线段， 所以n级分形图中第n级的所有线段的长度为bn=3× (n∈N*)， 所以n级分形图中所有线段长度之和为Sn= 答案：①3×2n-3 ②9-9× 【补偿训练】设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互 相平行，任意三条直线不过同一点，若用f(n)表示这n条直线交点的 个数，则f(4)=    ；当n≥3时，f(n)=    (用n表示). 【解析】如图，可得f(4)=5，因为f(3)=2，f(4)=5=f(3)+3， f(5)=9=f(4)+4，f(6)=14=f(5)+5， …， f(n)=f(n-1)+n-1， 所以每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数. 累加得f(n)=2+3+4+…+…+(n-1)= 答案：5  类型三：类比推理的应用 【典例3】如图所示，在平面上，设ha，hb，hc分别是△ABC三条边上 的高，P为△ABC内任意一点，P到相应三边的距离分别为pa，pb， pc，可以得到结论 =1.证明此结论，通过类比写出在 空间中的类似结论. 【解题指南】三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面， 三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高. 【解析】 同理， 因为S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC， 所以 类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD中，设ha， hb，hc，hd分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P为该四面体 内任意一点，P到相应四个面的距离分别为pa，pb，pc，pd，可以得 到结论 【延伸探究】 1.(改变问法)对上述类比得出的结论加以证明. 【证明】 同理， 因为VP-BCD+VP-ACD+VP-ABD+VP-ABC=VA-BCD， 所以 2.(变换条件)在本例中，若△ABC的边长分别为a，b，c，其对角分 别为A，B，C，那么由a=b·cos C+c·cos B可类比四面体的什么性 质？ 【解析】在如图所示的四面体中，S1，S2，S3，S分别表示△PAB， △PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC， 面PCA与底面ABC所成二面角的大小. 猜想S=S1·cosα+S2·cosβ+S3·cosγ. 【规律总结】 1.类比推理的基本思路 根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数 目、位置关系、度量等方面入手，由平面中相关结论可以类比得到 空间中的相关结论. 2.平面图形与空间图形类比如下： 平面图形 点 线 边长 面积 线线角 三角形 空间图形 线 面 面积 体积 二面角 四面体 【拓展延伸】类比推理的基本逻辑形式及适用前提 (1)类比推理的基本逻辑形式 A类事物具有性质a，b，c，d B类事物具有性质a′，b′，c′， 所以B类事物可能具有性质d′.(a，b，c，d与a′，b′，c′，d′ 相似或相同) (2)类比推理的适用前提 ①两类对象在某些性质上有相似性或一致性，关键是把这些相似性 或一致性确切地表述出来，再由一类对象具有的特性去推断另一类 对象也可能具有的特性. ②运用类比推理常常先寻找合适的类比对象. 【巩固训练】1.在公比为4的等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn}的前n 项积，则有 也成等比数列，且公比为4100，类比上述结 论，相应地，在公差为3的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和， 可类比得到的结论为：  . 【解析】因为等差数列{an}的公差d=3， 所以(S30-S20)-(S20-S10) =(a21+a22+…+a30)-(a11+a12+…+a20) = =100d=300， 同理可得：(S40-S30)-(S30-S20)=300，所以数列S20-S10，S30-S20， S40-S30也是等差数列，且公差为300. 答案：数列S20-S10，S30-S20，S40-S30也是等差数列，且公差为300 2.在△ABC中，D为BC的中点，则 将命题类比到 四面体中去，得到一个命题为：    . 【解析】平面中线段的中点类比到空间为四面体中面的重心，顶点 与中点的连线类比顶点和重心的连线. 答案：在四面体A-BCD中，G是△BCD的重心，则 【补偿训练】已知椭圆具有以下性质：若M，N是椭圆C上关于原点对 称的两个点，点P是椭圆上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在， 并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.试对双 曲线 写出具有类似的性质，并加以证明. 【解析】类似的性质为：若M，N是双曲线 上关于原点对 称的两个点，点P是双曲线上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存 在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值. 证明如下：设点M，P的坐标为(m，n)，(x，y)，则N(-m，-n). 因为点M(m，n)在已知双曲线上， 所以n2= m2-b2.同理y2= x2-b2. 则kPM·kPN= (定值).