2.1.2
演绎推理
【自主预习】
1.演绎推理
(1)含义:从一般性的原理出发,推出某个_________下
的结论,这种推理称为演绎推理.
(2)特点:演绎推理是由_____到_____的推理.
特殊情况
一般 特殊
2.三段论
一般模式 常用格式
大前提 _______________ M是P
小前提 _________________ S是M
结论
根据一般原理,对_________
做出的判断 S是P
已知的一般原理
所研究的特殊情况
特殊情况
【即时小测】
1.下列说法正确的个数是 ( )
①演绎推理是由一般到特殊的推理
②演绎推理得到的结论一定是正确的
③演绎推理的一般模式是“三段论”形式
④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推
理形式有关
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选C.由演绎推理的概念可知说法①③④正确
,②不正确.
2.下列几种推理过程是演绎推理的是________.
①两条平行直线与第三条直线相交,内错角相等,如果
∠A和∠B是两条平行直线的内错角,则∠A=∠B;②金导
电,银导电,铜导电,铁导电,所以一切金属都导电;③由
圆的性质推测球的性质;④科学家利用鱼的沉浮原理制
造潜艇.
【解析】①是演绎推理;②是归纳推理;③④是类比推
理.
答案:①
【知识探究】
探究点 演绎推理
1.“三段论”与“演绎推理”有何关系?
提示:“三段论”是演绎推理的一般模式.
2.演绎推理所得的结论一定正确吗?
提示:不一定.演绎推理中只要前提和推理形式正确,其
结论才正确.
【归纳总结】
1.演绎推理的三个特点
(1)演绎推理的前提是一般性原理,演绎推理所得的结
论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,结论完全蕴涵
于前提之中.
(2)在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系,只
要前提是真实的,推理的形式是正确的,那么结论也必
定是正确的.
(3)演绎推理是由一般到特殊的推理.
2.对“三段论”的三点说明
(1)三段论中的大前提提供了一个一般性原理,小前提
指出了一种特殊情况,两个命题结合起来,揭示了一般
性原理与特殊情况的内在联系,从而得到了第三个命题
——结论.
(2)若集合M的所有元素都具有性质P,S是M中的一个子
集,那么S中的元素也具有性质P;若M中的元素都不具有
性质P,则S中的元素也不具有性质P.
(3)从以上两点可以看出:三段论推理的结论正确与否,
取决于两个前提是否正确,推理形式是否正确.
特别提醒:演绎推理与合情推理的本质区别:合情推理
是由特殊到一般(特殊)的推理.由合情推理得到的结论
具有不可靠性,而由演绎推理得到的结论是可靠的.
类型一 用三段论表示演绎推理
【典例】1.(2016·淄博高二检测)“因为四边形ABCD
是矩形,所以四边形ABCD的对角线相等”,补充以上推理
的大前提是 ( )
A.正方形都是对角线相等的四边形
B.矩形都是对角线相等的四边形
C.等腰梯形都是对角线相等的四边形
D.矩形都是对边平行且相等的四边形
2.三段论:①平面内没有任何公共点的直线为平行线
;②直线a⊂α,b⊂α且a与b没有公共点;③a∥b中的小
前提是:________(填序号).
3.将下列演绎推理写成三段论的形式.
(1)一切偶数都能被2整除,100是偶数,所以100能被2
整除.
(2)函数y=2x+1是定义域上的单调函数.
(3) 是有理数.
【解题探究】1.典例1中的小前提和结论隐含了什么信
息?
提示:四边形ABCD、矩形、对角线相等.
2.典例2中,大前提、小前提、结论分别是什么?
提示:①是大前提;②是小前提;③是结论.
3.典例3把演绎推理写成三段论的关键是什么?
提示:分清大前提、小前提和结论.
【解析】1.选B.由大前提、小前提、结论三者的关系
知,大前提是“矩形都是对角线相等的四边形”.
2.根据演绎推理及三段论知,①是大前提;②是小前提
;③是结论.
答案:②
3.(1)一切偶数都能被2整除, ……………大前提
100是偶数…………………………………小前提
100能被2整除………………………………结论
(2)一次函数y=kx+b(k≠0)是定义域上的单调函数
…………………………………………………大前提
函数y=2x+1是一次函数…………………小前提
函数y=2x+1是定义域上的单调函数………结论
(3)所有循环小数都是有理数……………大前提
0. 是循环小数……………………………小前提
0. 是有理数………………………………结论.
【方法技巧】将演绎推理写成三段论的方法
(1)用三段论写推理过程时,关键是明确大、小前提.
(2)用三段论写推理过程中,有时可省略小前提,有时甚
至也可将大前提与小前提都省略.
(3)在寻找大前提时,可找一个使结论成立的充分条件
作为大前提.
【拓展延伸】合情推理与演绎推理的区别与联系
合情推理 演绎推理
区
别
思维方向
不同
归纳推理是从部分到整体
,从个别到一般的推理;类
比推理是从特殊到特殊的
推理
在一般性知识的前提下推出
一个特殊性的知识的结论,
即从一般到特殊的推理
前提与结
论联系的
性质不同
结论超过了前提所断定的
范围,其结论具有或然性
结论不超过前提所断定的范
围,前提和结论的联系是必
然的
应用不同
不能作为数学证明的工具
,但它具有创造性思维,对
于数学发现很有意义
可以作为数学证明的工具,
较少具有创造性,但它严密
的论证有助于数学的理论化
和系统化
联
系
两者紧密联系,互为依赖,互为补充.
(1)演绎推理的一般性知识的大前提必须借助于归纳
推理从具体的经验中概括出来.从这个意义上可以说
,没有归纳推理就没有演绎推理.
(2)合情推理也离不开演绎推理,合情推理活动的目
的、任务和方向必须借助于理论思维,依靠人们先前
积累的一般性理论知识作指导.这本身就是一种演绎
活动,并且合情推理得到的结论正确与否,必须借助
于演绎推理去论证,从这个意义上说,没有演绎推理
也就没有合情推理
【变式训练】(2016·焦作高二检测)《论语》云:“名
不正,则言不顺;言不顺,则事不成;事不成,则礼乐不兴
;礼乐不兴,则刑罚不中;刑罚不中,则民无所措手足;所
以名不正,则民无所措手足.”上述理由用的是( )
A.合情推理 B.归纳推理
C.类比推理 D.演绎推理
【解析】选D.由演绎推理的定义知,该推理为演绎推理.
类型二 用三段论证明几何问题
【典例】如图,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,∠BFD=
∠A,DE∥BA,求证:ED=AF,写出三段论形式的演绎推理.
【解题探究】本例证明“ED=AF”依据的前提是什么?
提示:四边形AFDE为平行四边形.
【解析】因为同位角相等,两直线平行, ……大前提
∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD=∠A,…………小前提
所以FD∥AE.……………………………………结论
因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形,…大前提
DE∥BA,且FD∥AE,…………………小前提
所以四边形AFDE为平行四边形.………结论
因为平行四边形的对边相等,…………大前提
ED和AF为平行四边形AFDE的对边,……小前提
所以ED=AF.………………………………结论
【延伸探究】1.若增加条件“∠C=∠A”,证明
:∠BFD=∠BDF.
【证明】因为同位角相等,两直线平行,…大前提
∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD=∠A,……小前提
所以FD∥AE.………………………………结论
因为两直线平行,同位角相等,……大前提
FD∥AE,且∠BDF与∠C是同位角,…小前提
所以∠BDF=∠C.………………………结论
又因为∠C=∠A,∠BFD=∠A…………小前提
所以∠BFD=∠BDF……………………结论
2.将典例中“∠BFD=∠A”改为“∠BFD=∠DEC”,如何
证明结论.
【证明】因为DE∥BA.所以∠DEC=∠A,
又因为∠BFD=∠DEC,所以∠BFD=∠A.
所以DF∥AC.又因为DE∥BA,
所以四边形AEDF为平行边行形.
所以ED=AF.
【方法技巧】
1.用“三段论”证明命题的格式
×××××× (大前提)
×××××× (小前提)
×××××× (结论)
2.用“三段论”证明命题的步骤
(1)理清证明命题的一般思路.
(2)找出每一个结论得出的原因.
(3)把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来.
【补偿训练】已知平面α∥平面β,直l⊥α,l∩α=A,
求证:l⊥β.
【证明】在平面β内任取一条直线b,平面γ是经过点A
与直线b的平面,设γ∩α=a.
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的
交线平行, 大前提
α∥β,且α∩γ=a,β∩γ=b, 小前提
所以a∥b. 结论
如果一条直线与一个平面垂直,那么这条直线和这个平
面内的任意一条直线都垂直, 大前提
l⊥α,a⊂α, 小前提
所以l ⊥a. 结论
如果一条直线和两条平行线中的一条垂直,那么它也与
另一条垂直, 大前提
a∥b,且l ⊥a, 小前提
所以l ⊥b. 结论
如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直,那
平面垂直, 大前提
因为l⊥b,且直线b是平面β内的任意一条直线, 小前提
所以l⊥β. 结论
类型三 用三段论证明代数问题
【典例】1.(2016·菏泽高二检测)已知 ,函数
f(x)=ax,若实数m,n满足f(m)>f(n),则m,n的大小关系
是________.
2.设函数f(x)= ,其中a为实数,若f(x)的定义
域为R,求实数a的取值范围.
【解题探究】1.典例1中条件“ ”的作用是什么?
提示:“ ”的作用是指明函数的单调性.
2.典例2中“f(x)的定义域为R”说明什么?
提示:“f(x)的定义域为R”说明“x2+ax+a≠0恒成立”.
【解析】1.当0
微信/支付宝扫码支付