2.1.2
演绎推理
主题一：演绎推理的含
【自主认知】
看下面两个推理，回答问题
①一切奇数都不能被2整除，(22012+1)是奇数，所以(22012+1)不能被2
整除；
②两个平面平行其中一个平面内的任意直线必平行于另一个平面，如
果直线a是其中一个平面内的一条直线，那么a平行于另一个平面.
(1)这两个推理中的第一句都说的是什么？
提示：都说的是一般原理.
(2)这两个推理中第二句、第三句又说的是什么呢？
提示：第二句都说的是特殊实例.而第三句说的是由一般原理对特殊
实例做出的判断.
➡根据以上探究过程，试着写出演绎推理的定及特点：
1.定：从_______的原理出，推出某个___________的结论，
我们把这种推理称为演绎推理(演绎推理又称_________).
2.特点：由_____到_____的推理.
一般性 特殊情况下
逻辑推理
一般 特殊
【合作探究】
1.阅读下面的材料，探究下列问题：
(1)自然数都是整数，因为3是自然数，所以3是整数.
(2)一次函数是单调函数，因为y=2x-1是一次函数，所以y=2x-1是单
调函数.
以上两个推理是演绎推理吗？推理的结论正确吗？
提示：是演绎推理，推理的结论都正确.
2.演绎推理有哪些特点？
提示：①演绎推理的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴含于前
提之中的个别特殊事实，结论完全蕴含于前提之中；②在演绎推理中，
前提和结论存在着必然的联系，只要前提是真实的，推理形式是正确
的，那么结论也必然是正确的.
【过关小练】
1.平行于同一直线的两直线平行，因为a∥b，b∥c，所以a∥c，这个
推理称为( )
A.合情推理 B.归纳推理 C.比推理 D.演绎推理
【解析】选D.因为平行于同一直线的两直线平行，(一般性原理)
因为a∥b，b∥c，(特殊情况)
所以a∥c，(由一般性得特殊)
所以这是一个三段论，属于演绎推理.
2.下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A.某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推
测各班人数都超过50人
B.由三角形的性质，推测空四面体的性质
C.平行四形的对角线互相平分，菱形是平行四形，所以菱形的
对角线互相平分
D.在数列{an}中，a1=1，an= 由此归纳出{an}的通项公式
【解析】选C.选项A，D是归纳推理；选项B是类比推理；选项C运用了
“三段论”，是演绎推理.
主题二：演绎推理的一般模式
【自主认知】
1.“所有金属都导，因为是金属，所以导”，以上推理是演
绎推理吗？其推理形式有何特点？
提示：是演绎推理，此推理形式可分为三部分：第一句描述的是一般
原理，第二句描述的是大前提里的特殊情况，第三句是根据一般原理
对特殊情况做出的判断.
2.演绎推理的结论是否正确？是如何得出结论的？
提示：推理的结论正确，演绎推理的结论是根据一般原理，对特殊情
况做出的判断.
➡根据以上探究过程，试着完成演绎推理一般模式的相关内容
1.演绎推理的一般模式：三段论.
(1)大前提——已知的_________.
(2)小前提——所研究的_________.
(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的_____.
一般原理
特殊情况
判断
2.“三段论”的常用格式：
(1)大前提：M是P.
(2)小前提：S是__.
(3)结论：S是P.
3.从集合的角度看演绎推理：
(1)大前提：x∈M且x具有性质P.
(2)小前提：y∈S且S⊆M.
(3)结论：y具有性质__.
M
P
【合作探究】
1.如何分清“三段论”的大前提、小前提和结论？
提示：在演绎推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大
前提里的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况做出的判断，这
与平时我们解答问题中的思考是一样的，即先指出一般情况，从中取
出一个特例，特例也具有一般意义.例如，平行四边形对角线互相平
分，这是一般情况；矩形是平行四边形，这是特例；矩形对角线互相
平分，这是特例具有的一般意义.
2.合情推理和演绎推理有怎的关系？
提示：(1)联系：两个推理是相辅相成的，演绎推理是证明数学结论、
建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路的发生，主要
靠合情推理.
(2)区别：合情推理的前提为真时，结论不一定为真；而演绎推理的
前提为真时，结论必定为真.
【拓展延伸】“三段论”的论断基础
(1)三段论法的论断基础是这一个公理：凡肯定(或否定)了某一
对象的全部，也就肯定(或否定)了这一对象的各部分或个体.简言
之，全体概括个体.M，P，S三个概念之的包含关系表现为：如果概
念P包含了概念M，则必包含了M中的任一概念S(如图①)；如果概念P
排斥概念M，则必排斥M中的任一概念S(如图②).
(2)只有弄清以上道理，才会使我们在今后的演绎推理中不犯(或少犯
)错误.在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定也是
正确的.如果大前提是错误的，所得的结论也是错误的.
【过关小练】
1.已知△ABC中，A=30°，B=60°，求证：a0时，
方程f(x)-g(x)=x2-2x+3有唯一解.
【证明】由题(2)可知a=2，
所以f(x)=x2-2lnx，g(x)=x-2 ，
所以方程f(x)-g(x)=x2-2x+3等价于
x+2 -2lnx-3=0.
设h(x)=x+2 -2lnx-3，则h′(x)=
令h′(x)>0，并由x>0，得x+ -2>0，解得x>1.
令h′(x)0，得x+ -20时，方程f(x)-g(x)=x2-2x+3有唯一解.
x (0，1) 1 (1，+∞)
h′(x) - 0 +
h(x) 递减 极小值0 递增
【规律结】应用三段论解题的技巧及常错误
(1)技巧：应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件
(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证
每一步的推理都是正确的、严密的，才能得出正确的结论.
(2)常的解题错误：
①条件理解错误(小前提错)；
②定理引入和应用错误(大前提错)；
③推理过程错误等.
【拓展延伸】代数中的演绎推理
在演绎推理中，前提和结论之存在着必然的系，只要前提是真
的，推理形式是正确的，结论必定是正确的，而一些代数运算或证明，
都是在一些前提条件下进行的，因此在运算或证明的过程中都会用到
演绎推理.
【巩固训练】已知a，b，c是数，函数f(x)=ax2+bx+c，当|x|≤1时，
|f(x)|≤1，证明|c|≤1，并分析证明过程中的三段论.
【证明】因为|x|≤1时，|f(x)|≤1.
x=0满足|x|≤1，
所以|f(0)|≤1，又f(0)=c，所以|c|≤1.
证明过程中的三段论分析如下：
大前提是|x|≤1，|f(x)|≤1；
小前提是|0|≤1；
结论是|f(0)|≤1.
【偿训练】已知数列{an}满足a1=1，a2=3，an+2=3an+1-2an(n∈N+).
(1)求证：数列{an+1-an}是等比数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
(3)若数列{bn}满足4b1-14b2-1…4bn-1=(an+1)bn(n∈N+)，求证：{bn}是等
差数列.
【解析】(1)因为an+2=3an+1-2an，
所以an+2-an+1=2(an+1-an).
所以 =2(n∈N+)，
因为a1=1，a2=3，
所以数列{an+1-an}是以a2-a1=2为首项，2为公比的等比数列.
(2)由(1)得an+1-an=2n(n∈N+)，
所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=2n-1+2n-2+…+2+1=2n-1(n∈N+).
(3)证明：因为4b1-14b2-1…4bn-1=(an+1)bn，且an=2n-1，
所以4(b1+b2+…bn)-n=2nbn.
所以2[(b1+b2+…+bn)-n]=nbn， ①
2[(b1+b2+…+bn+bn+1)-(n+1)]=(n+1)bn+1. ②
②-①得2(bn+1-1)=(n+1)bn+1-nbn，
即(n-1)bn+1-nbn+2=0， ③
nbn+2-(n+1)bn+1+2=0. ④
④-③得nbn+2-2nbn+1+nbn=0，
即bn+2-2bn+1+bn=0，
所以bn+2-bn+1=bn+1-bn(n∈N+).
所以{bn}为等差数列.
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