高中数学人教版选修1-2同课异构教学课件：2.2.1.1 综合法 第1课时 综合法 情境互动课型.ppt

2.2 直接证明与间接证明 2.2.1  综合法和分析法 第1课时 综合法 有趣的数学证明引人入胜 推 理 合情推理 （或然性推理） 演绎推理 （必然性推理） 归纳 (特殊到一般） 类比 （特殊到特殊） 三段论 （一般到特殊） 合情推理是发现的方法，演绎推理是数学中严格 证明的工具. 怎样用演绎推理来证明呢？这是要讲究方法的.今 天，我们就来认识一些基本的证明方法…… 1.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两 种基本方法之一的综合法. （重点） 2.了解综合法的思考过程、特点. （难点） 探究点1 综合法的含义 引例:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc 因为b2+c2 ≥2bc,a>0 所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+a2 ≥2ac,b>0 所以b(c2+a2)≥ 2abc. 因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc. 证明: 一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、 公理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明 的结论成立,这种证明方法叫做综合法. 用P表示已知条件、已有的定义、公理、定 理等,Q表示所要证明的结论. 则综合法用框图表示为: … 以下命题中,正确的是(  ) A.综合法是执果索因的逆推法 B.综合法是由因导果的顺推法 C.综合法是因果互推的两头凑法 D.综合法就是举反例 B 【即时训练】 例1:如图所示,△ABC在平面α外, 求证:P,Q,R三点共线. A B C P Q R 探究点2 利用综合法进行证明 分析：本例的条件表明，P,Q,R三点既在平面α 内，又在平面ABC内，所以可以利用两个相交平面 的公理证明. （1） （2） 平面内有四边形ABCD和点O, 则四 边形ABCD为(  ) A.菱形 B.梯形 C.矩形 D.平行四边形 D 【即时训练】 证明： 求证：a2+b2+3≥ab+ (a+b). 【证明】因为a2+b2≥2ab,a2+3≥2 a, b2+3≥2 b, 将此三式相加得2(a2+b2+3)≥2ab+2 a+2 b, 所以a2+b2+3≥ab+ (a+b). 【变式练习】 例3 在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ，Ｂ，Ｃ对应的边分 别为a ，b ，c，且Ａ，Ｂ，Ｃ成等差数列，a ， b ， c成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形． 分析：将A,B,C成等差数列，转化为符号语言就是 2B=A+C；a,b,c成等比数列，转化为符号语言就是b2 =ac.A,B,C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，明确 表示出来是A+B+C=π.此时，如果能把角和边统一起 来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而 判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求.于是， 可以用余弦定理为工具进行证明. 证明：由A，B，C成等差数列，有 2B=A+C ① 由①②，得 ② ③ 由a，b，c成等比数列，有 ④ 由余弦定理及③，可得 再由④，得 因此 a=c 从而有 A=C ⑤ 由②③⑤，得 即 【提升总结】 解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如 把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成 图形语言等.还要通过细致的分析，把其中的隐含 条件明确表示出来. (2015·烟台高二检测)已知a,b,c均为正实数,且 a+b+c=1. 求证：( -1)( -1)( -1)≥8. 【变式练习】 【证明】因为a,b,c均为正实数,且a+b+c=1, 所以 故 1.设m≠n,x=m4-m3n,y=n3m-n4,则x与y的大小关系 为(  ) A.x>y B.x=y C.x0,S90. S9= =9a5