高中数学人教版选修1-2同课异构教学课件：2.2.1.1 综合法 精讲优练课型.ppt

2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法 第1课时 综 合 法 【自主预习】 综合法 (1)定义:利用_________和某些数学_____、_____、 _____等,经过一系列的_________,最后推导出所要证 明的结论成立,这种证明方法叫做综合法. 已知条件 定义 定理 公理 推理论证 (2)框图表示:用P表示已知条件、已有的定义、定理、 公理等,Q表示所要证明的结论,则综合法可用框图表示 为: 【即时小测】 1.以下命题中,正确的是 (  ) A.综合法是执果索因的逆推法 B.综合法是由因导果的顺推法 C.综合法是因果互推的两头凑法 D.综合法就是举反例 【解析】选B.综合法就是从已知条件(因)出发,利用已 有知识进行证明结论(果)的方法. 2.已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C的对边,且a2+b2- c2=ab,则角C的值为 (  ) 【解析】选A.由余弦定理知 3.已知等差数列{an},Sn表示前n项和,a3+a9>0,S90. S9= =9a5b>0,则下列不等式中,总成立的是   (  ) 2.在不等式“a2+b2≥2ab”的证明中:因为a2+b2-2ab =(a-b)2≥0.所以a2+b2≥2ab.该证明用的方法是 ________. 3.(2016·沈阳高二检测)已知a,b,c∈R,且a+b+c=1. 求证:a2+b2+c2≥ 【解题探究】1.典例1中,不等式正确与否的判断依据 是什么? 提示:不等式的性质. 2.典例2中,证明过程从什么出发的? 提示:从已知的不等式出发的. 3.典例3中,怎么利用a+b+c=1这一条件? 提示:将a+b+c=1两边平方,然后利用重要不等式即可. 【解析】1.选A.因为a>b>0,所以 > >0, 所以a+ >b+ . 2.由题设知:本题中证明是从已知的不等式(a+b)2≥0 出发,经过推理得出结论,是综合法. 答案:综合法 3.因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca 于是(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤a2+b2+c2+ (a2+b2)+(b2+c2)+(c2+a2)=3(a2+b2+c2) 所以a2+b2+c2≥ (a+b+c)2= . 当且仅当a=b=c时取等号,原式得证. 【方法技巧】综合法证明不等式的主要依据 综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和 已知的重要不等式,其中常用的有以下几个: ①a2≥0(a∈R); ②(a-b)2≥0(a,b∈R),其变形有a2+b2≥2ab, ≥ ab,a2+b2≥ ; ③若a,b∈(0,+∞),则 ≥ ,特别地, ≥2; ④a2+b2+c2≥ab+bc+ac(a,b,c∈R),由不等式a2+b2≥ 2ab,a2+c2≥2ac,b2+c2≥2bc,易得a2+b2+c2≥ab+bc+ ac,此结论是一个重要的不等式,在不等式的证明中的 使用频率很高; ⑤(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac),体现了a+b+c, a2+b2+c2与ab+bc+ac这三个式子之间的关系. 易错警示:应用上述不等式来证明问题时,首先弄清式 中字母的取值范围.如③中a,b∈(0,+∞),以免用错. 【变式训练】(2016·武汉高二检测)已知a,b,c为不全 等的正实数. 求证: . 【证明】因为 又a,b,c为不全等的正实数. 而 且上述三式等号不能同时成立. 所以 >6-3=3, 即 类型二 用综合法证明三角等式 【典例】1.在△ABC中,三边a,b,c成等比数列,求证: acos2 +ccos2 ≥ b. 2.证明:sin(2α+β)=sinβ+2sinαcos(α+β). 【解题探究】1.典例1中,在三角形中,条件“acos2 +ccos2 ”如何转化? 提示:先借助降幂公式把cos2 ,cos2 化为cosC,cosA, 再借助余弦定理实现角转换为边. 2.典例2中等式两边的角有何特点？ 提示：等式左边是2α+β，等式右边是(α+β)和α. 【证明】1.因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac. 当且仅当a=c时取等号,所以acos2 +ccos2 ≥ b. 2.因为sin(2α+β)-2sinαcos(α+β) =sin[(α+β)+α]-2sinαcos(α+β) =sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα-2sinαcos(α+β) =sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα =sin[(α+β)-α]=sinβ.所以原命题成立. 【延伸探究】 1.在典例2中令α=β,求证:sin3α=3sinα-4sin3α. 【证明】左边=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα =2sinαcos2α+(1-2sin2α)sinα =2sinα(1-sin2α)+sinα-2sin3α =2sinα-2sin3α+sinα-2sin3α=3sinα-4sin3α=右边. 所以sin3α=3sinα-4sin3α. 2.试证明:cos3α=4cos3α-3cosα. 【证明】左边=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα =(2cos2α-1)cosα-2sin2αcosα =2cos3α-cosα-2cosα(1-cos2α)=4cos3α-3cosα =右边. 所以cos3α=4cos3α-3cosα. 【方法技巧】证明三角等式的主要依据 (1)三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式. (2)和、差、倍角的三角函数公式. (3)三角形中的三角函数及三角形内角和定理. (4)正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式. 【补偿训练】(2016·东营高二检测)在锐角三角形ABC 中,已知3b=-2 asinB,且cosB=cosC,求证:△ABC是正 三角形. 【证明】因为△ABC为锐角三角形, 所以A,B,C∈ . 由正弦定理及条件可得3sinB=2 sinAsinB. 因为sinB≠0,所以sinA= ,所以A= . 又cosB=cosC且B,C∈ ,所以B=C. 又B+C= ,所以B=C= . 所以△ABC是正三角形. 类型三 用综合法解决函数、数列问题 【典例】1.(2016·温州高二检测)已知方程(x2-mx+2) (x2-nx+2)=0的四个根组成一个首项为 的等比数列, 则|m-n|=________. 2.(2015·山东高考)定义运算“⊗”:x⊗y= (x,y∈ R且xy≠0),当x>0,y>0时,x⊗y+(2y)⊗x的最小值为_____. 3.对于定义域为[0,1]的函数f(x),如果同时满足以下 条件: ①对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0; ②f(1)=1; ③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1都有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2) 成立,则称函数f(x)为理想函数. 试判断g(x)=2x-1(x∈[0,1])是否为理想函数,如果是, 请予证明;如果不是,请说明理由. 【解题探究】1.典例1中方程的四个根具有什么特点? 提示:①四根成等比数列,②等比数列的首项为 ,③满 足根与系数的关系. 2.典例2解题的关键是什么? 提示:根据新定义运算,写出解析式. 3.判断g(x)=2x-1(x∈[0,1])是否为理想函数需要检验 什么条件? 提示:①对任意的x∈[0,1],总有g(x)≥0; ②g(1)=1; ③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1都有g(x1+x2)≥g(x1)+g(x2). 【解析】1.方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0⇔x2-mx+2=0① 或x2-nx+2=0②.设方程①两根为x1,x4,方程②两根为 x2,x3.则x1·x4=2,x1+x4=m,x2·x3=2,x2+x3=n.因为方程 (x2-mx+2)(x2-nx+2)=0的四个根组成一个首项为 的 等比数列,所以x1,x2,x3,x4分别为此数列的前四项且 x1= ,x4= =4,公比为2,所以x2=1,x3=2,所以 m=x1+x4= +4= ,n=x2+x3=1+2=3,故|m-n|= 答案: 2.由新定义运算知,(2y)⊗ ,因为 x>0,y>0,所以x⊗y+(2y)⊗x= 当且仅当x= y时取等号,所以 x⊗y+(2y)⊗x的最小值是 . 答案: 3.g(x)=2x-1(x∈[0,1])是理想函数,证明如下: 因为x∈[0,1],所以2x≥1,2x-1≥0, 即对任意x∈[0,1],总有g(x)≥0,满足条件①. g(1)=2-1=1,满足条件②. 由于x1≥0,x2≥0,所以g(x1+x2)-[g(x1)+g(x2)]≥0, 因此g(x1+x2)≥g(x1)+g(x2),满足条件③, 故函数g(x)=2x-1(x∈[0,1])是理想函数. 【延伸探究】若函数f(x)是理想函数,证明f(0)=0. 【证明】令x1=x2=0,则满足x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1, 于是有f(0+0)≥f(0)+f(0), 得f(0)≤0.又由条件①知f(0)≥0,故必有f(0)=0. 【方法技巧】 1.综合法证明问题的步骤 2.综合法解决数列问题的依据 【变式训练】(2016·郑州高二检测)不相等的三个数 a,b,c成等差数列,并且x是a,b的等比中项,y是b,c的等 比中项,则x2,b2,y2三数 (  ) A.成等比数列,而非等差数列 B.成等差数列,而非等比数列 C.既成等差数列又成等比数列 D.既非等差数列又非等比数列 【解析】 选B.由已知条件知 由②得a= ,由③得c= ,代入①得 =2b, 所以x2+y2=2b2. 故x2,b2,y2成等差数列. 自我纠错 综合法的应用 【典例】如果a >b ,则实数a,b应满足的条件是 ______. 【失误案例】 分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案. 提示:错误的根本原因是忽视a >b 中隐含条件, 实际上a≥0,b≥0.正确解答过程如下: 【解析】由题意可知,a≥0,b≥0. a >b 等价于(a )2>(b )2,即a3>b3.等价于a>b. 答案:a>b≥0.