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第三章 空间向量与立体几何
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3.1 空间向量及其运算
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
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第三章 空间向量与立体几何
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1.了解空间向量基本定理及其意义,并能用基本定理
解决一些几何问题.
2.理解基底、基向量的概念,掌握空间向量的正交分
解的意义.
3.掌握空间向量的坐标表示,会确定一些简单几何体
的顶点坐标.
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某次反恐演习中,一特别行动小组获悉:“恐怖分子”
将“人质”隐藏在市动物园往南500米,再往东400米处的某大
厦12楼.行动小组迅速赶到市动物园,然后按标识顺利到达目
的地,完成解救“人质”的任务.从标识中可以看出:确定市
动物园的位置后,大厦的位置就随之确定,“人质”的隐藏地
由“南500米”“东400米”“12楼”这三个量确定.设e1是向
南的单位向量,e2是向东的单位向量,e3是向上的单位向量.
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[问题1] 这三个向量能做为该空间的一组基底吗?
[提示1] 能.
[问题2] 能否用e1,e2,e3把人质的位置表示出来?
[提示2] 能.
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定理:如果三个向量a,b,c_________,那么对于空间
任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=___________.
其中__________叫做空间的一个基底,________都叫做基向量
.
空间向量基本定理
不共面
xa+yb+zc
{a,b,c} a,b,c
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对空间向量基本定理的理解
(1)空间向量基本定理表明,用空间三个不共面向量组{a
,b,c}可以线性表示出空间任意一个向量,而且表示的结果是
唯一的.
(2)空间中的基底是不唯一的,空间中任意三个不共面
向量均可作为空间向量的基底.
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空间向量的正交分解及其坐标表示
两两垂直
公共点 e1,e2,e3
平移
起点
xe1+ye2+ze3
x,y,z
p=(x,y,z)
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建立空间直角坐标系的方法
(1)建立空间直角坐标系的关键是根据几何图形的特征,
尽量寻找三条互相垂直且交于一点的直线,如若找不到,要想
办法去构造.
(2)同一几何图形中,由于建立的空间直角坐标系不同,
从而各点的坐标在不同的坐标系中也不一定相同,但本质是一
样的.
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解析: 向量确定时,终点坐标随着起点坐标的变化而
变化,本题中起点没固定,所以终点的坐标也不确定.
答案: D
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2.若{a,b,c}是空间的一个基底,则下列各组中不能
构成空间一个基底的是( )
A.a,2b,3c
B.a+b,b+c,c+a
C.a+2b,2b+3c,3a-9c
D.a+b+c,b,c
解析: -3(a+2b)+3(2b+3c)+(3a-9c)=0.
答案: C
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合作探究 课堂互动
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基底的判断
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判断三个向量能否作为基底的方法
判断三个向量能否作为基底,关键是判断它们是否共面,
若从正面判断难以入手,可以用反证法结合共面向量定理或者
利用常见的几何图形帮助,进行判断.
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1.设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间
的一个基底,给出下列向量组:
①{a,b,x};②{a,b,y};③{x,y,z};④{a,x
,y};
⑤{x,y,a+b+c}.
其中可以作为空间基底的向量组有________.
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空间向量基本定理及应用
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用基底表示向量时,
(1)若基底确定,要充分利用向量加法、减法的三角形
法则和平行四边形法则,以及数乘向量的运算律进行.
(2)若没给定基底时,首先选择基底.选择时,要尽量
使所选的基向量能方便地表示其他向量,再就是看基向量的模
及其夹角是否已知或易求.
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空间向量的坐标表示
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用坐标表示空间向量的解题方法与步骤为:
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