人教版高中数学选修4-4课件 2.4　渐开线与摆线 .ppt

参数方程 第二讲 • 2.4 渐开线与摆线 •2.1 曲线的参数方程 •2.1.1 参数方程的概念与圆的参数 方程 栏目导 航 课前教材预案 课堂深度拓展 课后限时作业 课末随堂演练 课前教材预案 •要点一 渐开线 •要点二 摆线 课堂深度拓展 •考点一 渐开线 • 用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的 步骤 • (1)建立合适的坐标系，设出曲线上的动点P 的坐标； • (2)取定运动中产生的某一角度为参数； • (3)用三角及几何知识写出相关向量的坐标表 达式； • (4)用向量运算得到向量OP的坐标表达式，由 此得到轨迹曲线的参数方程． • 思维导引：本题考查对渐开线参数方程的理 解． 3 • 【变式1】 求半径为4的圆的渐开线的参数 方程． •考点二 摆线 • 假设圆周上定点M的起始位置是圆与定直线 的切点O，圆保持与定直线相切向右滚动， 点M就绕圆心B做圆周运动．如果点M绕圆心 B转过φ弧度后，圆与直线相切于点A，那么 线段OA的长度等于弧AM的长，即OA＝rφ； 如果点M绕圆心B运动一周后到切点E的位置， 那么OE 的长恰等于圆周的长，这就是所谓 的“无滑动地滚动”的意义．从上述分析可 以看到，在圆沿定直线无滑动的滚动过程中， 圆周上定点M的位置可以由圆心角φ唯一确定， 因此以φ为参数是非常自然的． • 【例题2】 已知一个圆的摆线过一定点(2,0) ，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方 程． • 【变式2】 求半径为2的圆的摆线的参数方程 (如图所示，开始时定点M在原点O处，取圆 滚动时转过的角度α(以弧度为单位)为参数)． •考点三 渐开线、摆线的综合运用 • 渐开线和摆线的概念虽有相似之处，但它们 的本质完全不同，渐开线的本质是直线在圆 上滚动时直线上定点的轨迹，摆线的本质是 一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周 上一个定点的轨迹，在运用时往往因理解不 透导致判断错误． • 【例题3】 设圆的半径为8，沿x轴正向滚动， 开始时圆与x轴相切于原点O，记圆上动点为 M，它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动 一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求 此曲线上点的纵坐标y的最大值，说明该曲线 的对称轴． • 思维导引：本题考查摆线的参数方程的求法 及应用．解答本题需要先分析题意，搞清M 点的轨迹的形状，然后借助图象求得最值． • 【变式3】 如图所示，ABCD是边 长为1 的正方形，曲线AEFGH…叫做 “正方形的渐开线”，其中弧AE，EF ，FG，GH的圆心依次为B，C，D，A ，则曲线AEFGH的长是(  ) • A．3π B．4π C．5π D．6π C 课末随堂演练 课后限时作业 制作者：状元桥 适用对象：高二学生 制作软件：Powerpoint2003、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上 操作系统