高中数学人教A版选修4-1课件：1.3.1 相似三角形的判定及性质.pptx

-1- 三 相似三角形的判定及性质 -2- 1.相似三角形的判定 -3- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1.了解三角形相似的定义,掌握相似三角形的判定定理以及直角 三角形相似的判定方法. 2.会证明三角形相似,并能解决有关问题. -4- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 1.相似三角形 (1)定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角 形,相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数). (2)记法:两个三角形相似,用符号“∽”表示,例如△ABC与△A'B'C' 相似,记作△ABC∽△A'B'C'. 归纳总结1.三角形相似与三角形全等不同,全等三角形一定相似, 但相似三角形不一定全等. 2.相似三角形定义中的“对应边成比例”是三组对应边分别成比 例. 3.相似三角形对应顶点的字母必须写在相应的位置上,这一点与 全等三角形是一致的.例如△ABC和△DEF相似,若点A与点E对应,点 B与点F对应,点C与点D对应,则记为△ABC∽△EFD. -5- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 【做一做1】￿已知△ABC∽△A'B'C',下列选项中的式子,不一定成 立的是(  ) A.∠B=∠B' B.∠A=∠C‘ 解析:很明显选项A,C,D均成立.因为∠A和∠C'不是对应角,所以 ∠A=∠C'不一定成立. 答案:B -6- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 2.相似三角形的判定 -7- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 -8- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 -9- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 知识拓展判定三角形相似的三种基本图形 (1)平行线型: (2)相交线型: (3)旋转型: -10- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 【做一做2-1】￿如图,在△ABC中,FD∥GE∥BC,则与△AFD相似的 三角形有(  ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:∵￿FD∥GE∥BC, ∴△AFD∽△AGE∽△ABC, 故与△AFD相似的三角形有2个. 答案:B -11- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 -12- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 3.直角三角形相似的判定定理 (1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相似; (2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似. (3)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的 斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似. 名师点拨直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形分别 与原三角形相似. 在证明直角三角形相似时,要特别注意利用直角这一条件. -13- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 答案:55° -14- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 同一法证明几何问题 剖析:当直接证明一个几何问题比较困难时,往往采用间接证明 的方法.“同一法”就是一种间接证明的方法.应用同一法证明问题 时,往往首先作出一个满足命题结论的图形,然后证明图形符合命 题的已知条件,确定所作图形与题设条件所指的图形相同,从而证 明命题成立.例如,如图,已知PQ,TR为☉O的切线,P,R为切点 ,PQ∥RT,证明PR为☉O的直径. -15- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 证明:如图,延长PO交RT于点R', ∵PO⊥PQ,∴PR'⊥PQ. ∵PQ∥RT, ∴PR'⊥RT,即OR'⊥RT. 又∵TR为☉O的切线,R为切点, ∴OR⊥RT, ∴点R'与点R重合, ∴PR为☉O的直径. 由上例可以看出,同一法证明几何问题的步骤如下:(1)首先作出 一个符合结论的图形,然后推证出所作的图形符合已知条件;(2)根 据唯一性,证明所作出的图形与已知的图形是全等的或重合的;(3) 说明已知图形符合结论. -16- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 -17- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 反思1.本题中,∠DAB与∠EAC的相等关系不易直接找到,这里用 ∠BAC=∠EAD,在∠BAC和∠EAD中分别减去同一个角∠DAC,间接证 明∠DAB=∠EAC. 2.判定两个三角形相似时,关键是分析已知哪些边对应成比例,哪 些角对应相等,根据三角形相似的判定定理,找到符合定理的条件 就能推导出结论. -18- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练1】￿如图,∠1=∠2,∠3=∠4.求证:△ABD∽△ACE. 证明:∵∠1=∠2, ∴∠BAC=∠DAE. 又∵∠3=∠4, ∴△ABC∽△ADE. 又∵∠1=∠2,∴△ABD∽△ACE. -19- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 【例2】￿如图,已知在正方形ABCD中,P是BC上的点,且 BP=3PC,Q是CD的中点. 求证:△ADQ∽△QCP. -20- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 反思直角三角形相似的判定方法很多,既可根据一般三角形相似 的判定方法判定,又有其特有的判定方法.在求证、识别的过程中, 可由已知条件结合图形特征确定合适的方法. -21- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 -22- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 -23- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 分析:所要证明的等式中的四条线段AB,AC,CD,BC分别在△ABC 和△BCD中,但这两个三角形不相似,由题意可得BD=CD,这样 AB,AC,BD,BC分别在△ABC和△ABD中,只需证明这两个三角形相似 即可. -24- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 -25- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 反思证明线段成比例,常先把等式中的四条线段分别看成两个三 角形的两条边,再证明这两个三角形相似即可,若这四条线段不能 分别看成两个三角形的两边,则利用相等线段进行转化,如本题中 把CD转化为BD. -26- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练3】￿如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,E是 AC的中点,连接ED,并延长与AB的延长线交于点F.求证 :AB∶AC=DF∶AF. 证明:∵∠BAC=90°,AD⊥BC, ∴∠C=∠BAD,Rt△ADB∽Rt△CAB, ∴AB∶AC=BD∶AD. 又∵E是AC的中点, ∴AE=DE=EC,∴∠C=∠CDE. ∴∠BAD=∠CDE=∠BDF. 又∠F=∠F,∴△FDB∽△FAD. ∴BD∶AD=DF∶AF, 即AB∶AC=DF∶AF. -27- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 【例4】￿如图,在△ABC中,D是BC的中点,M是AD上一点,BM,CM 的延长线分别交AC,AB于F,E两点.求证:EF∥BC. 分析:要证明EF∥BC,想通过角之间的关系达到目的显然是不可 能的,而要利用成比例线段判定两条直线平行的判定定理,图中又 没有平行条件,因此要设法作出平行线,以便利用判定定理.在作平 行线时,要充分考虑到中点D的应用. -28- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 证明:(方法一)延长AD至点G,使DG=MD,连接BG,CG,如图. ∵BD=DC,MD=DG, ∴四边形BGCM为平行四边形. ∴EC∥BG,FB∥CG. ∴EF∥BC. -29- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 (方法二)过点A作BC的平行线,与BF,CE的延长线分别交于G,H两 点,如图. -30- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 (方法三)过点M作BC的平行线,分别与AB,AC交于G,H两点,如图. -31- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 反思利用引理来证明两条直线平行的关键是证明其对应线段成 比例,这样即可转化为证明线段成比例,其证明方法有:利用中间量, 如本题证法一;转化为线段成比例,如本题证法二;既用中间量,又转 化为线段成比例,如本题证法三. -32- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练4】￿如图,已知点A,B,C在∠O的一边l上,点A',B',C'在另 一边l'上,并且直线AB'∥BA',BC'∥CB'. 求证:AC'∥CA'. -33- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四