1.1.2 余弦定理
甲乙两位同学均住在世博园的附近，已知甲同学家距离
世博园入口处300米，乙同学家距离世博园入口处400米，
某天，甲乙两位同学相约一同参观世博园，请问，你能求
出甲乙两同学家相距多少米吗？
①已知三角形的任意两角及其一边；
问题1 运用正弦定理能解怎样的三角形？
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角.
提示:
问题2 如果已知三角形的两边及其夹角，能
解这个三角形吗？
根据三角形全等的判定方法，这个三角形
是大小、形状完全确定的三角形.
从量化的角度来看，如何从已知的两边和它
们的夹角求三角形的另一边和两个角？
这就是我们这节课要讲的内容.
提示:
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理
的向量方法.（重点）
2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题
.(难点)
探究点1 余弦定理及其推论
用正弦定理试求，发现因A、
B均未知，所以较难求边c.
由于涉及边长问题，从而可
以考虑用向量来研究这个问题.
即：如图，在△ABC中，设BC=a, AC=b, AB=c.
已知a, b和C，求边c. A
BC
提示:
A
BC
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方
的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，
即
余弦定理
注：利用余弦定理，可以从已知的两边及其夹角
求出三角形的第三条边.
这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其
中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一
角？
式子中共有4个量.已知其中三个量，可以求出
第四个量，当然能由三边求出一角.
提示:
余弦定理的推论：
注: 由上述推论, 可以由三角形的三条边求出
三角形的三个角.
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之
间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边
平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系
？
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定
理是余弦定理的特例.
提示:
【即时练习】
探究点2 余弦定理及其推论的基本作用
①已知三角形的任意两边及它们的夹角可以求出
第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出角.
③已知三角形两边及其一边对角，可求其他
的角和第三条边.
C
【即时练习】
例1 在△ABC中，已知b=60 cm，c=34 cm，
A=41° ，解三角形（角度精确到1°，边长精确到
1 cm）.
解：方法一： 根据余弦定理，
a²=b²+c²-2bccosA
=60²+34²-2×60×34×cos41o
≈1 676.82，
所以a≈41(cm).
由正弦定理得，
因为c不是三角形中最大的边，所以C是锐角，利
用计算器可得：
C≈33°，B=180o-(A+C)≈180o-(41o+33o)=106°.
根据余弦定理，
a²=b²+c²-2bccosA
=60²+34²-2×60×34×cos41o
≈1 676.82，
所以a≈41(cm).
由余弦定理得
所以利用计算器可得C≈33°，
B=180o-(A+C)≈180o-(41o+33o)=106°.
方法二：
【变式练习】
注意：一般地，在“知三边及一角”要求剩下的
两个角时，应先求最小的边所对的角.
思考:在解三角形的过程中，求某一个角时既
可用正弦定理也可用余弦定理，两种方法有什
么利弊呢？
例2 在△ABC中，已知a=134.6 cm，b=87.8 cm，
c=161.7 cm，解三角形（角度精确到1′）.
解：由余弦定理的推论得：
【变式练习】
思考：在已知三边时，一般先利用余弦定理求哪
个角？然后用正弦定理还是继续用余弦定理求角
？
在已知三边时，一般先利用余弦定理求两个
较小的角（大边对大角,小边对小角），然后再
由三角形内角和求第三角.
提示:
已知条件 定理选用 一般解法
一边和两角
(如a,B,C)
两边和夹角
(如a,b,C)
两边和其中一
边的对角
(如a,b,A)
三边(a,b,c)
由A+B+C=180°求角A,由正弦定理
求出b与c.
解三角形的四种基本类型
正弦定理
余弦定理 由余弦定理求出第三边c，再由
正弦定理求出剩下的角.
正弦定理
由正弦定理求出角B,再求角C,
最后求出c边.可有两解,一解
或无解.
余弦定理
先由余弦定理求出其中两个角,再利
用内角和为180°求出第三个角.
C
1
1.余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规
律，勾股定理是余弦定理的特例.
2. 余弦定理的应用范围：
①已知三边求三角；
②已知两边及它们的夹角，求第三边.
③已知三角形两边及其一边对角，
可求其他的角和第三条边.
3.正弦定理和余弦定理可解的三角形
正弦定理 余弦定理
①已知两角和任一边，求
另一角和其他两条边
②已知两边和其中一边的
对角，求另一边和其他两
角
①已知三边，求各角
②已知两边和它们的夹角，
求第三边和其他两个角
人不能像动物那样活着，应该追求知识和
美德，来完善自己。
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