人教版高中数学必修五同课异构课件：1.1.2 余弦定理 探究导学课型 .ppt

1.1.2 余 弦 定 理 1.掌握余弦定理及余弦定理的推导过程. 2.了解余弦定理的几种变形公式. 3.能熟练应用余弦定理解三角形及处理现实生活中的实际问题. 余弦定理 平方 平方 夹角 两倍 c2+a2-2ac·cosB 1.已知a2+b2-c2= ab，则C=(  ) A.30°   B.60°   C.120°   D.150° 【解析】选A.因为cosC= ，0°b>a知C最大， 因为cosC= 所以C=120°. 答案：120° 4.在△ABC中，已知a2+b2=c2，A=30°，a=1，则S△ABC=   . 【解析】因为a2+b2=c2，所以△ABC是以C为直角的直角三角 形，又因为A=30°，a=1，所以c=2，b= 所以S△ABC= 答案： 一、余弦定理及其证明 探究1：如图，设 那么向量c的平方是 什么？表示为对应的边可以得到什么式子？ 提示：c=b-a，|c|2=(b-a)·(b-a)=b·b+a·a-2a·b =a2+b2-2abcosC，所以c2=a2+b2-2abcosC. 探究2：利用探究1的结论思考下面的问题： (1)已知三角形的三边a，b，c，如何表示cosC. 提示：由探究1知c2=a2+b2-2abcosC，故cosC= (2)若C=90°，探究1的结论还成立吗？如果成立写出该结论， 若不成立说明理由. 提示：若C=90°，探究1的结论仍成立，即c2=a2+b2. 探究3：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系， 余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，请问两 定理之间有何联系？ 提示：余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特 殊情况. 【拓展延伸】利用平面图形的几何性质和 勾股定理证明余弦定理 ①当△ABC为锐角三角形时，如图， 作CD⊥AB，D为垂足，则CD=bsinA， DB=c-bcosA，则a2=DB2+CD2=(c-bcosA)2+(bsinA)2 =b2+c2-2bccosA，其余两个式子同理可证； ②当△ABC为钝角三角形时，如图， 作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则CD=bsinA， DB=bcos(π-A)+c=c-bcosA， 则a2=DB2+CD2=(c-bcosA)2+(bsinA)2 =b2+c2-2bccosA，其余两个式子同理可证； ③当△ABC为直角三角形时，易证余弦定理仍然成立. 【探究总结】对余弦定理及其推论的两点说明 (1)余弦定理适用于任意三角形，反映了三角形中三条边与一 个内角的余弦之间严格确定的量化关系. (2)余弦定理a2=b2+c2-2bccosA还可改写为sin2A=sin2B+sin2C- 2sinB·sinCcosA，有时应用它求三角函数值会很方便. 二、余弦定理在解三角形中的应用 探究1：根据余弦定理及其推论的形式，可以解哪两类三角形 问题？ 提示：余弦定理及其推论可以解决以下两类三角形问题： (1)已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边. (2)已知三角形的三条边就可以求出其角. 探究2：根据下面的提示，写出角A的范围 ①在△ABC中，若a2b2+c2⇔     . 提示：由余弦定理可知cosA= 显然当a20，即0°