人教版高中数学必修五同课异构课件：1.2　应用举例 第1课时 解三角形的实际应用举例——距离问题 情境互动课型 .ppt

1.2 应用举例 第1课时 解三角形的实际应用举例—— 距离问题 BC A 1.什么是正弦定理？运用正弦定理能解怎样的三 角形？ （1）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所 对角的正弦的比相等，即 ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角. （2）正弦定理能解决的三角形类型 ①已知三角形的任意两角及其一边； 2.什么是余弦定理？运用余弦定理能解怎样的三 角形？ （1）余弦定理：三角形中任何一边的平方等于 其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的 余弦的积的两倍，即 ①已知三边求三角； （2）余弦定理能解决的三角形类型： ②已知两边及它们的夹角，求第三边. 3.有这样一个问题:遥不可及的月球离地球究竟有 多远呢？在古代，天文学家没有先进的仪器就已 经估算出了两者的距离，他们是用什么神奇的方 法探索到这个奥秘的呢？ 我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着 许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三 角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形 等不同的方法来解决，但由于在实际测量问题的 真实背景下，某些方法却不能实施.如因为没有足 够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所 以，有些方法会有局限性. 上面介绍的问题就是 用以前的方法所不能解决的. 今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学 实践中的重要应用，首先研究如何测量距离. 1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解 决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测 量相关术语.(重点、难点) 2.激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用 价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题 意和应用转化思想解决数学问题的能力. 例1.设A,B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离. 测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出 AC的距离是55m，∠BAC＝51°， ∠ACB＝75°，求A ，B两点间的距离（精确到0.1m）. 探究点1 关于测量从一个可到达的点到一个不可到 达的点之间的距离的问题 解：根据正弦定理，得 答：A,B两点间的距离为65.7米. 分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形. 一艘船以32.2 n mile / h的速度向 正北航行.在A处看灯塔S在船的北偏东 20o的方向，30 min后航行到B处，在B处 看灯塔在船的北偏东65o的方向，已知距 离此灯塔6.5 n mile 以外的海区为航 行安全区域，这艘船可以继续沿正北方 向航行吗？ 【变式练习】 例2 如图，A，B两点都在河的对岸(不可到达)， 设计一种测量A，B两点间距离的方法. A B 探究点2 关于测量两个都不可到达的点之间的距 离的问题 分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达 的点之间的距离测量问题. A B 首先需要构造三角形，所以需要确定C，D两点. 用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点C到对 岸两点的距离，再测出∠BCA的大小，借助于余弦 定理可以计算出A，B两点间的距离. CD A B 解：测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD=a， 并且在C，D两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ.在ΔADC和ΔBDC中，应用正弦定 理得 D C 计算出AC和BC后，再在ΔABC中，应用余弦定理 计算出AB两点间的距离 【总结提升】 在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找 到多种解决问题的方案，但有些过程较烦琐，如何 找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特 点，结合题目条件来选择最佳的计算方式. 我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线， 如例1中的AC，例2中的CD. 在测量过程中,要根据实际需要选取合适的 基线长度,使测量具有较高的精确度. 一般来说,基线越长,测量的精确度越高. 思考：你还能找出生活中这样的例子吗？ 基线： A B C D 为了测定河对岸两点A，B间的距离,在岸边选定1千 米长的基线CD,并测得∠ACD=90o, ∠BCD=60o， ∠BDC=75o，∠ADC=30o，求A，B两点的距离. 【变式训练】 A B C D 1 3．自动卸货汽车的车厢采用液压机构.设计时需要计 算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°， 油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平 线之间的夹角为6°20′，AC长为1.40m，计算BC的长 （精确到0.01m）． 分析：（1）什么是最大仰角？ 最大角度最大角度最大角度最大角度 （2）题目中涉及一个怎样的 三角形？ C A B 最大角度最大角度最大角度最大角度 问题转化为：已知△ABC中，AB＝1.95m，AC＝ 1.40m，夹角∠CAB＝66°20′，求BC． 解：由余弦定理，得 答：顶杆BC约长1.89m. C A B 解斜三角形应用题的一般步骤： (1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出 示意图. (2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知 量与求解量尽量集中在有关的三角 形中，建立一个解斜三角形的数学 模型. (3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解 出三角形，求得数学模型的解. (4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意 义，从而得出实际问题的解. 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。