人教版高中数学必修五同课异构课件：1.2　应用举例 第2课时 解三角形的实际应用举例——高度、角度问题 情境互动课型 .ppt

第2课时 解三角形的实际应用举例 ——高度、角度问题 1.现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的 建筑物的高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测 量飞机下方山顶的海拔高度呢？ 今天我们就来共同探讨这些方面的问题. 2.在实际的航海生活中,人们也会遇到如下的问 题：在浩瀚的海面上如何确保轮船不迷失方向， 保持一定的航速和航向呢？ 1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解 决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题. (重点) 2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解 决一些有关计算角度的实际问题.(难点) 探究点1 测量底部不可到达的建筑物的高度 例1 AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑 物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法. 分析：如图，求AB长 的关键是先求AE，在 △ACE中，如能求出C 点到建筑物顶部A的距 离CA，再测出由C点观 察A的仰角，就可以计 算出AE的长. 解: 选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同 一条直线上.由在H,G两点用测角仪器测得A的仰角 分别是α,β,CD=a，测角仪器的高是h，那么，在 △ACD中，根据正弦定理可得 如图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB绕C点旋转 时，通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄 在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A0 处，设连杆AB长为340mm，曲柄CB长为85mm，曲柄自CB0按 顺时针方向旋转80°，求活塞移动的距离（即连杆的端 点A移动的距离AA0）（精确到1mm）. 【变式练习】 分析：此题可转化为“已知在△ABC中，BC＝85 mm， AB＝340 mm，∠ACB＝80°，求AA0 ．” 解：如图,在△ABC中，由正弦 定理可得： 又由正弦定理： 答：活塞移动的距离约为81 mm． 例2 如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的 俯角 α=54°40′，在塔底C处测得A处的俯角 β=50°1′ ,已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出 山高CD(精确到1 m). 根据已知条件,大家能设 计出解题方案吗？ 分析: 若在ΔABD中求BD，则关 键需要求出哪条边呢？ 那又如何求BD边呢？ 解：在△ABC中，∠BCA=90°+β,∠ABC=90°-α, ∠BAC=α-β, ∠BAD=α.根据正弦定理， 答：山的高度约为150米. 把测量数据代入上式，得 CD=BD-BC≈177.4-27.3≈150(m). . 思考:有没有别的解题思 路呢？ 先在△ABC中， 根据正弦定理求得 AC.再在△ACD中求 CD即可. 3.5 m长的木棒斜靠在石堤旁，棒的一端在离 堤足1.2 m的地面上，另一端在沿堤上2.8 m的地 方，求堤对地面的倾斜角α. (精确到0.01°） 【变式练习】 答：堤对地面的倾斜角α为63.77°. 例3 如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正 西行驶,到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西 偏北15°的方向上,行驶5 km后到达B处,测得此 山顶在西偏北25°的方向上,仰角为8°,求此山 的高CD(精确到1 m). 解：在△ABC中，∠A=15°, ∠C= 25°- 15°=10°. 根据正弦定理， CD=BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1 047(m). 答：山的高约为1 047米. 正确转化为 数学模型 【变式练习】 例4 如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航 行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东 32°的方向航行54.0 n mile后到达海岛C.如果下次航 行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行, 需要航行的距离是 多少?(角度精确到 0.1°,距离精确到 0.01 n mile) 探究点2 测量角度问题 分析：首先求出AC边所对的角∠ABC，即可用余 弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB 边的夹角∠CAB. 解：在 △ABC中，∠ABC＝180°－75°＋32°＝137° ，根据余弦定理， 根据正弦定理, 解：如图，在△ABC中，由余弦定理 得： 我舰在敌岛A南偏西50°的方向上，且与敌岛A 相距12海里的B处，发现敌舰正由岛A沿北偏西 10°的方向以10海里/小时的速度航行．问我舰需 以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌 舰？(精确到1°） A C B 40° 50° 10° 【变式练习】 所以我舰的追击速度为14海里/小时. 答：我舰需以14海里/小时的速度，沿北偏东 12°方向航行才能用2小时追上敌舰. 7 1.利用正弦定理和余弦定理解题时，要学会审题 及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料 中加工、抽取主要因素，并进行适当简化. 实际问题 抽象概括 示意图 数学模型 推 理 演 算 数学模型的 解实际问题的 解 还原说明 2.实际问题处理 3. 解三角形在实际测量中的常见应用 求 距 离 求 高 度 两点A，B间不 可达又不可视 两点A，B间可 视但不可达 两点A，B都不 可达 底部可达 底部不可达 三更灯火五更鸡，正是男儿读书时。黑发 不知勤学早，白首方悔读书迟。 ——颜真卿