人教版高中数学必修五同课异构课件：1.2　应用举例 第3课时 三角形中的几何计算 教学能手示范课 .ppt

第2课时 三角形中的几何计算 1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和 方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握 三角形的面积公式的简单推导和应用; 2.三角形各种类型的判定方法. 1.我们以前接触过的三角形的面积公式有哪些？ D 思考：如何用已知边和角表示三角 形的面积？ 探究一 三角形面积公式 A a ha CB c b 2.已知边角求三角形面积 :ha＝bsinC＝csinB hb=csinA＝asinC hc=asinB＝bsinA A a ha CB D c b 分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积 的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以 应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什 么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积. (3)根据余弦定理的推论，得 例2 如图,某市在进行城市环境建设中,要把一个三角形的 区域改造成市内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条 边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确 到0.1㎡） 分析：本题可转化为已 知三角形的三边，求角 的问题，再利用三角形 的面积公式求解。 C A B 解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论， ，得 例3 在△ABC中，求证： 分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的 证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到 用正弦定理和余弦定理来证明. 探究二 三角形边角关系应用 证明：（1）根据正弦定理，可设 （2）根据余弦定理 右边=(b2+c2-a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2) =a2+b2+c2=左边. （1）acosA = bcosB 例4 判断满足下列条件的三角形的形状， 提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化 角为边”. 探究三 判断三角形的形状 另解：由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB, 所以sin2A=sin2B, 即2A=2B, 根据边的关系易得是等腰三角形 所以A=B 思考：为什么两种求解方法答案不同，哪个正确？哪个错 误？为什么？ 因为sin2A=sin2B,有可能推出2A与2B两个角互补， 即2A+2B=180°，A+B=90°. 前一种解法正确. 后一种解法遗漏了一种情况； 所以此三角形为直角三角形. 思考:能否直接用角推导,而不转化为边呢? 利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的 式子或只含角的三角函数式，然后化简并考查边或角的关 系，从而确定三角形的形状.特别是有些条件既可用正弦 定理也可用余弦定理甚至可以两者混用. 形状 所以B=60°或120° （1）若B=60°，则C=180°-60°-45°=75° 故S= absinC= ×2× ×sin75°= ； 答：三角形的面积为 . 1.三角形面积公式： 2.确定三角形的形状 利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角 为边”. 3．三角形形状的判断 判断三角形的形状是解三角形问题中常见题型， 其关键是实现边角互相转化，主要方法有两种： 方法一：化角为边，利用正弦定理、余弦定理把 所给条件中的角都转化为边，通过恒等变形，寻 找边的关系，从而判断三角形的形状． 方法二：化边为角，利用正弦定理、余弦定理把 所给的条件中的边都化为角，通过三角变换，寻 求角的值或角的关系．常见结论有： 4.解三角形问题的几种类型 在三角形的六个元素中，要知道三个(其中至少 有一个为边)才能解该三角形．据此可按已知条 件分以下几种情况 已知条件 应用定理 一般解法 一边和两角 (如a，B， C) 正弦定理 由A＋B＋C＝180°，求角A；由 正弦定理求出b与c，在有解时 只有一解 两边和夹角 (如a，b， C) 余弦定理 正弦定理 由余弦定理求第三边c；由正弦 定理求出一边所对的角；再由 A＋B＋C＝180°求出另一角， 在有解时只有一解 三边(a，b ，c) 余弦定理 由余弦定理求出角A、角B；再 利用A＋B＋C＝180°，求出角C ，在有解时只有一解 两边和其中 一边的对角 (如a，b， A) 正弦定理 余弦定理 由正弦定理求出角B；由A＋B ＋C＝180°，求出角C；再利用 正弦定理或余弦定理求c，可有 两解、一解或无解 若cos(A＋B)>0，则角C是钝角； 若cos(A＋B)