人教版高中数学必修五同课异构课件：1.2　应用举例 第3课时 三角形中的几何计算 情境互动课型 .ppt

第3课时 三角形中的几何计算 在△ABC中，边BC，CA，AB上的高分别记为 ha，hb，hc，那么它们如何用已知边和角表示？ ha＝bsinC＝csinB hb=csinA＝asinC hc=asinB＝bsinA 1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进 一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积 公式的简单推导和应用.(重点) 2.三角形各种类型的判定方法. (难点) 1.我们以前接触过的三角形的面积公式有哪些？ D 探究点1 三角形面积公式 A a CB c b ha hc hb 提示: ha＝bsinC＝csinB hb=csinA＝asinC hc=asinB＝bsinA A a ha CB D c b 2.如何用已知边和角表示三角形的面积？ 提示: 【即时练习】 分析：这是一道在不同的已知条件下求三角形的 面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我 们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么， 尚缺什么，求出需要的元素，就可以求出三角形 的面积. 例1 在△ABC中，根据下列条件，求三角形的面 积S（精确到0.1 ）: （1）已知a=14.8cm，c=23.5cm，B=148.5°； （2）已知B=62.7°，C=65.8°,b=3.16cm； （3）已知三边的长分别为a=41.4cm， b=27.3cm，c=38.7cm. (3)根据余弦定理的推论，得 【变式练习】 例2 如图,某市在进行城市环境建设中,要把一个三 角形的区域改造成市内公园,经过测量得到这个三角 形区域的三条边长分别为68 m,88 m,127 m,这个区 域的面积是多少？（精确到0.1 ㎡） 分析：本题可转化为 已知三角形的三边， 求角的问题，再利用 三角形的面积公式求 解. C A B 解：设a=68 m,b=88 m,c=127 m,根据余弦定理的推论， 已知圆内接四边形的边长为AB=2，BC=6，CD=DA=4. 求四边形ABCD的面积.   【分析】连结BD，将四边形ABCD 转化为三角形.   【解析】如图，连结BD， 设四边形ABCD的面积为S. 【变式练习】    则 S = S△ABD+ S△CDB = AB·ADsinA+ BC·CDsinC. ∵四边形ABCD为圆内接四边形， A+C=180°， ∴sinA=sinC，cosA=-cosC， ∴S= (AB·AD+BC·CD)sinA = (2×4+6×4)sinA =16sinA. 在△ABD中，由余弦定理得 BD2=AB2+AD2-2AB·ADcosA =22+42-2×2×4cosA=20-16cosA. 在△BCD中，同理可得 BD2=BC2+CD2-2BC·CDcosC =62+42+2×6×4cosA=52+48cosA. 由BD2=BD2，得 20-16cosA=52+48cosA cosA= ， ∴A=120°，∴S=16sin120°= . 例3 在△ABC中，求证： 分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的 证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到 用正弦定理和余弦定理来证明. 探究点2 三角形边角关系应用 证明：（1）根据正弦定理，可设 （2）根据余弦定理， 右边=(b2+c2-a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2) =a2+b2+c2 =左边. （1）acosA = bcosB. 判断满足下列条件的三角形的形状. 提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角” 或“化角为边”. 【变式练习】 另解：由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB, 所以sin2A=sin2B, 即2A=2B, 根据边的关系易得是等腰三角形. 所以A=B， 思考：为什么两种求解方法答案不同，哪个正确？ 哪个错误？为什么？ 因为sin2A=sin2B,有可能推出2A与2B两个角 互补，即2A+2B=180°，则A+B=90°. 前一种解法正确. 后一种解法遗漏了一种情况； 提示: 所以此三角形为直角三角形. 利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为 只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简 并观察边或角的关系，从而确定三角形的形状.特 别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚 至可以两者混用.  1．在△ABC中，若acosB=bcosA，则△ABC一定是（ ）  A．等腰三角形 B．等边三角形  C．直角三角形 D．等腰直角三角形 A 【解析】acosB=bcosA 2RsinA cosB=2RsinBcosAtanA=tanB A=B， ∴△ABC为等腰三角形. 2．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状 一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 【解析】2sinAcosB＝sin(A＋B)＋sin(A－B)， 又∵2sinAcosB＝sinC， ∴sin(A－B)＝0，∴A＝B． ∴△ABC为等腰三角形． C 3.(2015·北京高考)在△ABC中,a=3,b= ,∠A= , 则∠B=     . 【提示】 利用正弦定理求解,注意角B的范围. 1.三角形面积公式： 2.确定三角形的形状 利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或 “化角为边”. 3.三角形的面积公式 三 角 形 的 面 积 公 式 4.解三角形知识结构图 解 三 角 形 应用举例 余 弦 定 理 距离问题 高度问题 角度问题 变形及应用 为了向别人，向世界证明自己而努力拼搏， 而一旦你真的取得了成绩，才会明白：人无须 向别人证明什么.只要你能超越自己。