八年级数学上册11.1与三角形有关的线段11.1.2三角形的高中线与角平分线课件（新人教版）

11.1.2 三角形的高、中线与角平分线 第十一章 三角形 11.1 与三角形有关的线段 学习目标 1.掌握三角形的高，中线及角平分线的概念.（重点） 2.掌握三角形的高，中线及角平分线的画法. 3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法.（难点） 复习回顾 导入新课 定义 图示 垂线 线段中 点 角平分 线 O B A A B 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直 角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线 叫做另一条直线的垂线 把一条线段分成两条相等的线段的点 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线 叫做这个角的平分线 画一画 如图，P为线段AB右上方一点，过点P作线段AB的垂线. P ● A B 讲授新课 三角形的高一 问题1 什么是三角形的高？怎样画三角形的高？ 定义 如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D,所 得线段AD叫做△ABC的边BC上的高. 问题2 由三角形的高你能得到什么结论？ ∠ADB= ∠ADC=90 ° A B CD垂足 注意: 标明垂直的记号和垂足的字母. 高的叙述方法（如图）：有三种 ②AD⊥BC,垂足为D. ③点D在BC上，且∠BDA=∠CDA=90°. ①AD是△ABC的高. A B CD 锐角三角形的三条高 问题1 每人画一个锐角三角形. (1) 你能画出这个三角形的三条高吗? (2) 这三条高之间有怎样的位置关系？ O 问题2 锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部? A B CD E F 锐角三角形的三条高交于同一点. 锐角三角形的三条高都在三角形的内部. 探究交流 直角三角形的三条高 问题：在纸上画出一个直角三角形. AA BB CC (1)画出直角三角形的三条高. 直角边BC边上的高是______; AB 直角边AB边上的高是 ;;CB (2)它们有怎样的位置关系？ DD 斜边AC边上的高是_______. BD ● 直角三角形的三条高交于直角顶点. A B CD E F 钝角三角形的三条高 问题： (1) 钝角三角形的三条高交于一点吗？ (2)它们所在的直线交于一点吗？ OO 钝角三角形的三条高不相交于一点 钝角三角形的三条高所在直线交于一点 画钝角三角形的高微视频（单击） 画钝角三角形的高 三角形的三条高的特性 高所在的直线是否相交 高之间是否相交 高在三角形内部的数量 钝角三角形直角三角形锐角三角形 3 1 1 相交 相交 不相交 相交 相交 相交 三条高所在直线的交点 的位置 三角形 内部 直角顶点 三角形 外部 典例精析 例1：如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D， 且AD＝4，若点P在边AC上移动，求BP的最小值. 解：根据垂线段最短，可知当BP⊥AC时，BP有最小值． 由△ABC的面积公式可知, AD·BC ＝ BP·AC. 代入数值，可解得BP＝4×6÷5=4.8 . 方法总结:面积法的应用：若涉及两条高求长度， 一般需结合面积(但不求出面积)，利用三角形面积 的两种不同表示方法列等式求解. 三角形的中线二 问题1 如图，如果点C是线段AB的中点，你能得到什么结论？ A C B AC=BC= AB 问题2 如图，如果点D是线段BC的中点，那么线段AD就称为△ABC的 中线．类比三角形的高的概念，试说明什么叫三角形的中线？ A B C 定义： 如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC 的中点D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的 中线. 想一想：由三角形的中线能得到什么结论？ BD=CD= BC D 画一画：如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察 它们中线的交点有什么规律？ 画图发现 三角形的三条中线交于三角形内部一点.这一点我们称为三角形的重心. A B C A B C A B CD EF D D EF EFO O O 问题3 如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高．试判断 △ABD和△ACD的面积有什么关系？为什么？ B CD E A 答：相等，因为两个三角形等底同高，所以它们 面积相等. 问题4 通过问题3你能发现什么规律？ 答：三角形的中线能将三角形的面积平分. 典例精析 例2：如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中 点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF， 且S△ABC＝12，求S△ADF－S△BEF的值. 解：∵点D是AC的中点，∴AD＝ AC. ∵S△ABC＝12，∴S△ABD＝ S△ABC＝ ×12＝6. ∵EC＝2BE，S△ABC＝12，∴S△ABE＝ S△ABC＝ ×12＝4. 方法总结：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相 等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比 ． ∵S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)＝S△ADF－ S△BEF， 即S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2. 三角形的角平分线三 问题1 如图，若OC是∠AOB的平分线，你能得到什么结论？ A C BO ∠AOC= ∠BOC 问题2 你能用同样的方法画出任意一个三角形的一个内角的平分线吗? A B C D想一想：三角形的角平分线与角 的角平分线相同吗? 相同点是： ∠ BAD= ∠ CAD; 不同点是：前者是线段，后者是射线. 问题4：请画出这个三角形的另外两条角平分线,你发现了什么？ 三角形的三条角平分线交于一点． A B CD EF 问题3：一个三角形有几条角平分线？ 3条 称之为三角形的内心． 观察直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，你又有什么发现 ？ 例3：如图，DC平分∠ACB，DE∥BC, ∠AED=80°，求∠ECD的度数. 解：∵DC平分∠ACB, 又DE∥BC, 典例精析 ∴∠ACB=∠AED=80°. ∴∠ECD=40°. ∴∠ECD=∠BCD= ∠ACB. 三角形的 重要线段 概念 图形 表示法 三角形 的高线 从三角形的一个顶点向它的对边 所在的直线作垂线,顶点和垂足之 间的线段 ∵AD是△ABC的高线. ∴AD⊥BC ∠ADB=∠ADC=90°. 三角形 的中线 三角形中,连结一个顶点和它对边 中的线段 ∵ AD是△ABC的BC上的中线. ∴ BD=CD= ½BC. 三角形的 角平分线 三角形一个内角的平分线与它的 对边相交,这个角顶点与交点之间 的线段 ∵.AD是△ABC的∠BAC的平分线 ∴ ∠1=∠2= ½ ∠BAC 知识归纳 当堂练习 1．下列说法正确的是 （  ） A．三角形三条高都在三角形内 B．三角形三条中线相交于一点 C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可 能在三角形外 D．三角形的角平分线是射线 B 2．在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中： ①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC．其中正 确的是 （  ） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ D 3.如图，△ABC中∠C=90°，CD⊥AB，图中线段中可以作为△ABC的 高的有 （  ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 4.4.下列各组图形中，，哪一组图形中AD是△ABC 的BC边上的高 ( ) AA DD CC BB AA BB CC DD AA BBCC DD AA BB CC DD AA BB CC DD B D 5.填空： （1）如图①，AD,BE,CF是△ABC的三条中线，则 AB= 2＿＿,BD= ＿＿，AE= ＿＿ (2)如图②，AD,BE,CF是△ABC的三条角平分线，则∠1= ＿＿， ∠3=_________， ∠ACB=______. 图① 图② AF DC ∠2 2∠4 AC ∠ABC 6.如图，AD是 △ABC的中线，CE是 △ACD的中线， S△AEC=3cm2，则S△ABC =______.12cm2 7.在△ABC中,CD是中线,已知BC-AC=5cm, △DBC的周长为25cm,求△ADC的周长. A D B C 解： ∵CD是△ABC的中线， ∴BD=AD . ∵BC-AC=5cm, ∴ △DBC与△ADC的周长差是5cm, 又∵ △DBC的周长为25cm， ∴ △ADC的周长=25-5=20(cm). 课堂小结 三角形重要线 段 高 钝角三角形两短边上的高的画法 中 线 会把原三角形面积平分 一边上的中线把原三角形分成两个三角形， 这两个三角形的周长差等于原三角形其余两 边的差 角 平 分 线