八年级数学上册11.2与三角形有关的角11.2.1三角形的内角第1课时三角形的内角和课件（新人教版）

11.2.1 三角形的内角 第十一章 三角形 11.2 与三角形有关的角 第1课时 三角形的内角和 学习目标 2.会运用三角形内角和定理进行计算.（难点） 1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内 角和等于180°.（重点） 我的形状最小， 那我的内角和 最小. 我的形状最大， 那我的内角和最 大. 不对，我有一个钝 角，所以我的内角 和才是最大的. 一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请 同学们作为小判官给它们评判一下吧. 导入新课 情境引入 我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°.与三角形的 形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的. 思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180° 呢? 折叠 还可以用拼接的方法， 你知道怎样操作吗？ 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过 程，你能发现证明的思路吗？ 还有其他的拼接方 法吗？ 讲授新课 三角形的内角和定理的证明一 探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起. 验证结论 三角形三个内角的和等于180°. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 已知：△ABC. 证法1：过点A作l∥BC， ∴∠B=∠1. (两直线平行,内错角相等) ∠C=∠2. (两直线平行,内错角相等) ∵∠2+∠1+∠BAC=180°， ∴∠B+∠C+∠BAC=180°. 1 2 证法2：延长BC到D，过点C作 CE∥BA， ∴ ∠A=∠1 . (两直线平行，内错角相等) ∠B=∠2. (两直线平行，同位角相等) 又∵∠1+∠2+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°. CB A E D 1 2 CB A E D F 证法3：过D作DE∥AC,作DF∥AB. ∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC. (两直线平行，同位角相等) ∠A+∠AED=180°, ∠AED+∠EDF=180°， (两直线平行，同旁内角相补) ∴ ∠A=∠EDF. ∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°， ∴∠A+∠B+∠C=180°. 想一想：同学们还有其他的方法吗？ 思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？ 借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一 个平角. C A B 1 2 3 4 5 l A C B 1 2 34 5 l P 6 m CB A 1 2 知识要点 在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平 面几何里，辅助线通常画成虚线. 思路总结 为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补 等，这种转化思想是数学中的常用方法. 作辅助线 例1 如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °, ∠B=75 °, AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数. A B C D 解：由∠BAC=40 °, AD是△ABC的角平分线，得 ∠BAD= ∠BAC=20 °. 在△ABD中， ∠ADB=180°-∠B-∠BAD =180°-75°-20° =85°. 三角形的内角和定理的运用二 【变式题】如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝ 70°，求∠EDC，∠BDC的度数． 解：∵∠A＝50°，∠B＝70°， ∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°. ∵CD是∠ACB的平分线， ∴∠BCD＝ ∠ACB＝30°. ∵DE∥BC， ∴∠EDC＝∠BCD＝30°， 在△BDC中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD=80°. 例2 如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交 AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D. 解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°． ∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°， ∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°. 又∵∠CFD＝∠AFE， ∴∠CFD＝60°. ∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°， ∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°. 基本图形 由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D. 由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4. 总结归纳 4 例3 在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍， ∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数. 解: 设∠B为x°，则∠A为(3x)°， ∠C为(x ＋ 15)°， 从而有 3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180. 解得 x ＝ 33. 所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48. 答： ∠A， ∠B， ∠C的度数分别为99°， 33°， 48°. 几何问题借助方程来解. 这 是一个重要的数学思想. 【变式题】在△ABC中，∠A＝ ∠B＝ ∠ACB，CD是 △ABC的高，CE是∠ACB的平分线，求∠DCE的度数． 解析：根据已知条件用∠A表示出∠B和∠ACB，利用三角形的内角和 求出∠A，再求出∠ACB，∠ACD，最后根据角平分线的定义求出 ∠ACE即可求得∠DCE的度数． 比例关系可考虑用 方程思想求角度. 解：∵∠A＝ ∠B＝ ∠ACB， 设∠A＝x，∴∠B＝2x，∠ACB＝3x. ∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°， ∴x＋2x＋3x＝180°，得x＝30°， ∴∠A＝30°，∠ACB＝90°. ∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°， ∴∠ACD＝180°－90°－30°＝60°. ∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠ACE＝ ×90°＝45°， ∴∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝60°－45°＝15°. ②在△ABC中，∠A :∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是 _________三角形 . 练一练： ①在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °，则∠ C= . ③在△ABC中， ∠A= ∠B+10°, ∠C= ∠A + 10°, 则 ∠A= ， ∠ B= ，∠ C= . 102° 直角 60° 50° 70° 北 .A D 北 .C B . 东 E 例4 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东 80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向.从B岛看A,C两岛的视 角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少 度？ 三角形的内角和定理也常常用在实际问题中. 解： ∠CAB= ∠BAD- ∠CAD=80 °-50°=30°. 由AD//BE,得∠BAD+ ∠ABE=180 °. 所以∠ABE=180 °- ∠BAD=180°-80° =100°,∠ABC= ∠ABE- ∠EBC=100° -40°=60°. 在△ABC中， ∠ACB=180 °- ∠ABC- ∠ CAB =180°-60°-30° =90°, 答：从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60 °,从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°. 北 .A D 北 .C B. 东 E 【变式题】如图，B岛在A岛的南偏西40°方向，C岛在A岛的 南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，求从C岛看A ，B两岛的视角∠ACB的度数. 解：如图， 由题意得BE∥AD,∠BAD=40°， ∠CAD=15°，∠EBC=80°， ∴∠EBA=∠BAD=40°， ∠BAC=40°+15°=55°, ∴∠CBA=∠EBC-∠EBA=80°-40°=40°， ∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC =180°-55°-40°=85°． D E 当堂练习 1.求出下列各图中的x值． x=70 x=60 x=30 x=50 2.如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=___________ . BA C D 4 1 32 E 40°（ 280 ° 3.如图，四边形ABCD中，点E在BC上,∠A+∠ADE=180°， ∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数． 解：∵∠A+∠ADE=180°， ∴AB∥DE， ∴∠CED=∠B=78°． 又∵∠C=60°， ∴∠EDC=180°-（∠CED+∠C） =180°-（78°+60°） =42°． 4.如图，在△ABC中，∠B=42°，∠C=78°，AD平分∠BAC．求 ∠ADC的度数. 解：∵∠B=42°，∠C=78°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°. ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD= ∠BAC=30°， ∴∠ADC=180°-∠B-∠CAD=72°. 5.如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若 ∠BAC=60°，求∠BPC的度数． 解：∵△ABC中，∠A=60°， ∴∠ABC+∠ACB=120°． ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）=60°． ∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°， ∴∠BPC=180°-60°=120°． 拓 展 课堂小结 三 角 形 的 内 角 和 定 理 证 明 了解添加辅助线的方法 及 其 目 的 内 容 三 角 形 内 角 和 等 于1 8 0 °