八年级数学上册第十二章全等三角形小结与复习课件（新人教版）

小结与复习 第十二章 全等三角形 能够完全重合的两个图形叫全等图形，能够完全重合的 两个三角形叫全等三角形. 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点， 重合的角叫做对应角.重合的边叫做对应边， 要点梳理 一、全等三角形的性质 B C E F 其中点A和 ，点B和 ，点C和_ _是对应顶点. AB和 ，BC和 ，AC和 是对应边. ∠A和 ，∠B和 ， ∠C和 是对应角. A D 点D 点E 点F DE EF DF ∠D ∠E ∠F A B C D E F 性质： 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 如图：∵△ABC≌△DEF， ∴AB=DE，BC=EF，AC=DF （ ）， ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F （ ）. 全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应角相等 应用格式： 用符号语言表达为： 在△ABC与△DEF中 ∴△ABC≌△DEF.（SAS） 1.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (可以简写成“ 边角边”或“SAS”). F E D C B A AC=DF， ∠C=∠F， BC=EF， 二、三角形全等的判定方法 ∠A=∠D ，（已知 ） AB=DE，（已知 ） ∠B=∠E，（已知 ） 在△ABC和△DEF中， ∴ △ABC≌△DEF.（ASA） 2.有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成 “角边角”或“ASA”）. 用符号语言表达为： F E D C B A 3.三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或 “SSS”）. A B C D E F 在△ABC和△ DEF中， ∴ △ABC ≌△ DEF.（SSS） AB=DE， BC=EF， CA=FD， 用符号语言表达为： 4.有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 (可以简写成“角角边”或“AAS”）. 5.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 简写成“斜边、直角边”或“HL”. A BC D EF 注意：①对应相等. ②“HL”仅适用直角三角形, ③书写格式应为: ∵在Rt△ ABC 和Rt△ DEF中， AB =DE， AC=DF， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF (HL) 角的平分线的性质 图形 已知 条件 结论 P C P C OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE OP平分∠AOB PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E 角的平分线的判定 三、 角平分线的性质与判定 考点一 全等三角形的性质 考点讲练 例1 如图，已知△ACE≌△DBF．CE=BF，AE=DF，AD=8，BC=2． （1）求AC的长度； （2）试说明CE∥BF． 解：（1）∵△ACE≌△DBF， ∴AC=BD，则AB=DC， ∵BC=2，∴2AB+2=8， ∴AB=3，∴AC=3+2=5； （2）∵△ACE≌△DBF， ∴∠ECA=∠FBD， ∴CE∥BF． 两个全等三角形的长边与长边，短边与短边分别是对应边，大角 与大角，小角与小角分别是对应角.有对顶角的，两个对顶角一定为一 对对应角.有公共边的，公共边一定是对应边.有公共角的，公共角一 定是对应角. 方法总结 1.如图所示，△ABD≌△ACD，∠BAC=90°． （1）求∠B； （2）判断AD与BC的位置关系，并说明理由． 针对训练 解：（1）∵△ABD≌△ACD， ∴∠B=∠C， 又∵∠BAC=90°， ∴∠B=∠C=45°； （2）AD⊥BC． 理由：∵△ABD≌△ACD， ∴∠BDA=∠CDA， ∵∠BDA+∠CDA=180°， ∴∠BDA=∠CDA=90°， ∴AD⊥BC． 例2 已知，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝ ∠DBC， 求证：△ABC≌△DCB． ∠ABC＝∠DCB(已知）， BC＝CB（公共边）， ∠ACB＝∠DBC（已知）， 证明： 在△ABC和△DCB中， ∴△ABC≌△DCB（ASA ）. B C A D 【分析】运用“两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等”进行判定 ． 考点二 全等三角形的判定 2.已知△ABC和△DEF,下列条件中,不能保证△ABC和△DEF全等的 是( ) A.AB=DE,AC=DF,BC=EF B. ∠A= ∠ D, ∠ B= ∠ E,AC=DF C.AB=DE,AC=DF, ∠A= ∠D D.AB=DE,BC=EF, ∠ C= ∠ F D 针对训练 3.如图所示，AB与CD相交于点O, ∠A=∠B，OA=OB 添加条件 ， 所以 △AOC≌△BOD 理由是 . A O D C B ∠C=∠D 或∠AOC=∠BOD AAS 或ASA 考点三 全等三角形的性质与判定的综合应用 例3 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,CE⊥AD于点G,交AB于点 E,EF∥BC交AC于点F, 求证：∠DEC=∠FEC. A B CD FE G【分析】 欲证∠DEC=∠FEC 由平行线的性质转化为证明∠DEC=∠DCE 只需要证明△DEG ≌ △DCG. A B CD FE G 证明： ∵CE⊥AD, ∴ ∠AGE=∠AGC=90 °. 在△AGE和△AGC中， ∠AGE=∠AGC， AG=AG， ∠EAG=∠CAG， ∴ △AGE ≌ △AGC(ASA)， ∴ GE =GC. ∵AD平分∠BAC,∴ ∠EAG=∠CAG，. A B CD FE G 在△DGE和△DGC中， EG=CG， ∠ EGD= ∠ CGD=90 °， DG=DG. ∴ △DGE ≌ △DGC(SAS). ∴ ∠DEG = ∠ DCG. ∵EF//BC, ∴ ∠FEC= ∠ECD， ∴ ∠DEG = ∠ FEC. 利用全等三角形证明角相等，首先要找到两个角所在的两个三角形， 看它们全等的条件够不够；有时会用到等角转换，等角转换的途径很多， 如：余角，补角的性质、平行线的性质等，必要时要想到添加辅助线. 方法总结 4.如图，OB⊥AB,OC⊥AC,垂足为B,C,OB=OC， ∠BAO =∠CAO吗？为什么？ O C B A 解： ∠BAO=∠CAO， 理由：∵ OB⊥AB,OC⊥AC， ∴ ∠B=∠C=90°. 在Rt△ABO和Rt△ACO中， OB=OC，AO=AO， ∴ Rt△ABO≌Rt△ACO ，（HL） ∴ ∠BAO=∠CAO. 针对训练 考点四 利用全等三角形解决实际问题 例4 如图，两根长均为12米的绳子一端系在旗杆上，旗杆与地面 垂直，另一端分别固定在地面上的木桩上，两根木桩离旗杆底部的 距离相等吗？ A B CD 【分析】将本题中的实际问题转化为数学问题 就是证明BD=CD.由已知条件可知AB=AC， AD⊥BC. A B CD 解：相等，理由如下： ∵AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADC=90°. 在Rt△ADB和Rt△ADC中， AD=AD， AB=AC， ∴ Rt△ADB ≌ Rt△ADC(HL). ∴BD=CD. 利用全等三角形可以测量一些不易测量的距离和长度，还可对某些因 素作出判断，一般采用以下步骤： （1）先明确实际问题； （2）根据实际抽象出几何图形； （3）经过分析，找出证明途径； （4）书写证明过程. 方法总结 针对训练 5.如图，有一湖的湖岸在A、B之间呈一段圆弧状，A、B间的距离不 能直接测得．你能用已学过的知识或方法设计测量方案，求出A、B间 的距离吗？ 解：要测量A、B间的距离，可用如下方法： 过点B作AB的垂线BF，在BF上取两点C、D ，使CD=BC， 再作出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直 线上， ∵∠ACB=∠ECD，CB=CD， ∠ABC=∠EDC， ∴△EDC≌△ABC（ASA）． ∴DE=BA． 答：测出DE的长就是A、B之间的距离． C D E 考点五 角平分线的性质与判定 例5 如图,∠1=∠2,点P为BN上的一点，∠PCB+ ∠BAP=180 °， 求证:PA=PC. 【分析】由角平分线的性质易想到过点P向 ∠ABC的两边作垂线段PE、PF，构造角平分 线的基本图形. B A C N )) 1 2 P E F 【证明】过点P作PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F. ∵∠1=∠2,PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F. ∴PE=PF, ∠PEA=∠PFC=90 °. ∵ ∠PCB+ ∠BAP=180 °,又∠BAP+∠EAP=180 °. ∴ ∠EAP=∠PCB. 在△APE和△CPF中， ∠PEA=∠PFC=90 °， ∠EAP=∠FCP， PE=PF， ∴ △APE ≌ △CPF(AAS)， ∴ AP=CP. B A C N )) 1 2 P E F 【证法2思路分析】由角是轴对称图形，其对称轴是角平分线所在 的直线，所以可想到构造轴对称图形.方法是在BC上截取BD=AB, 连接PD（如图）.则有△PAB≌△PDB,再证△PDC是等腰三角形即 可获证. 证明过程请同学们自行完成！ 【归纳拓展】角的平分线的性质是证明线段相等的常用方法.应用时要依 托全等三角形发挥作用.作辅助线有两种思路，一种作垂线段构造角平分 线性质基本图；另一种是构造轴对称图形. A C N )) 1 2 P B D 6.如图,∠1=∠2,点P为BN上的一点， PA=PC ，求证:∠PCB+ ∠BAP=180 °. B A C N ) ) 1 2 P E F 【证明】过点P作PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F. ∵∠1=∠2,PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F. ∴PE=PF, ∠PEA=∠PFC=90 °. PA=PC， PE=PF， 在Rt△APE和Rt△CPF中， ∴ Rt△PAE ≌ Rt△PCF(HL). 针对训练 ∴ ∠ EAP= ∠ FCP. ∵ ∠BAP+∠EAP=180 °， ∴ ∠PCB+ ∠BAP=180 °. 想一想：本题如果不给图，条件不变，请问∠PCB与∠PAB有 怎样的数量关系呢？ B A C N ) ) 1 2 P E F 全 等 三 角 形 性 质 基 本 性 质 和 其 他 重 要 性 质 判 定 判定方法基本 思 路 作 用 是证明两条线段相等和角相 等 的 常 用 方 法 寻找现有条件（包括图中 隐 含 条 件 ） 选定判定方法证明准备条 件 角 的 平 分 线 的 性 质 定 理 角 的 平 分 线 的 判 定 定 理 证 明 两 条 线 段 相 等 证 明 角 相 等 辅 助 线 添 加 方 法 课堂小结