八年级数学上册13.3等腰三角形13.3.1第1课时等腰三角形的性质课件（新人教版）

13.3 等腰三角形 第十三章 轴对称 第1课时 等腰三角形的性质 学习目标 1.理解并掌握等腰三角形的性质.(重点) 2.经历等腰三角形的性质的探究过程，能初步运用 等腰三角形的性质解决有关问题.(难点) 导入新课 情境引入 定义及相关概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角 ，腰和底边的夹角叫做底角. A CB 腰腰 底边 顶 角 底角底角 讲授新课 等腰三角形的性质1一 剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪去阴影部分（一个直 角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形ABC有什么特点 ？ 互动探究 A B C AB=AC 等腰三角形 折一折：△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ A C D B 折痕所在的直线是它的对称轴. 等腰三角形是轴对称图形. 找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角. 重合的线段 重合的角   A C B D AB与AC BD与CD AD与AD ∠B 与∠C. ∠BAD 与∠CAD ∠ADB 与∠ADC 猜一猜： 由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？ 说一说你的猜想. 性质1 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）. A B CD 猜想与验证 已知：△ABC 中，AB=AC . 求证：∠B=∠C. 证法1：作底边BC边上的中线AD. 在△ABD与△ACD中： AB=AC（已知）， BD=DC（作图）， AD=AD（公共边）， ∴△ABD≌△ACD（SSS）. ∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）. 应用格式： ∵AB=AC（已知） ∴∠B=∠C（等边对等角） 证法2：作顶角∠BAC的平分线AD，交BC于点D. ∵AD平分∠BAC ， ∴∠1＝∠2. 在△ABD与△ACD中， AB＝AC（已知）， ∠1＝∠2（已证）， AD＝AD（公共边）， ∴ △ABD ≌ △ACD（SAS）， ∴ ∠B＝∠C. A B CD ( ( 1 2 证法3： 证明：作底边BC的高AD，交BC于点D. ∵AD⊥BC， ∴ ∠ADB ＝∠ADC＝90°. 在Rt△ABD与Rt△ACD中， AB＝AC（已知）， AD＝AD（公共边）， ∴ Rt△ABD ≌ Rt△ACD（HL）， ∴ ∠B＝∠C. A B CD A B C D x ⌒ 2x⌒ 2x ⌒ ⌒ 2x 例1 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求 △ABC各角的度数. 典例精析 解析：（1）观察∠BDC与∠A、∠ABD的关系，∠BDC与 ∠C、∠ABC呢？ ∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A, ∠ABC= ∠C= ∠BDC=2 ∠A. （2）设∠A=x,请把△ ABC的内角和用含x的式子表示 出来. ∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠ C=180 ° ∴x+2x+2x=180 °, A B C D 解：∵AB=AC，BD=BC=AD， ∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD. 设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x, 从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x, 于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° ， 解得x=36 ° . ∴∠A=36°，∠ABC=∠C=72°. x ⌒ 2x⌒ 2x ⌒ ⌒ 2x 方法总结：利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得 到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可 考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x. 如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求 ∠B和∠C的度数. 解：∵AB=AD=DC ∴ ∠B= ∠ADB，∠C= ∠DAC 设 ∠C=x，则 ∠DAC=x， ∠B= ∠ADB= ∠C+ ∠DAC=2x， 在△ABC中， 根据三角形内角和定理，得 2x+x+26°+x=180°， 解得x=38.5°. ∴ ∠C= x=38.5°， ∠B=2x=77°. 针对训练： 例2 等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大 小是(  ) A．65°或50° B．80°或40° C．65°或80° D．50°或80° 解析：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；当50°的角是顶 角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°.故选 A. A 方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这 个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论． 等腰三角形的性质2二 建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物， 如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你 知道为什么吗? 想一想： 刚才的证明除了能得到∠B＝∠C 你还能发现什么? 重合的线段 重合的角   A B D C AB＝AC BD＝CD AD＝AD ∠B ＝ ∠C ∠BAD ＝ ∠CAD ∠ADB ＝∠ADC =90° 性质2 等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合 （通常说成等腰三角形的“三线合一”）. A B CD ( ( 1 2 填一填:根据等腰三角形性质定理2完成下列填空. 在△ABC中， AB=AC时， （1）∵AD⊥BC, ∴∠_____ = ∠_____，____= ____. (2) ∵AD是中线， ∴____⊥____ ，∠_____ =∠_____. (3) ∵AD是角平分线， ∴____ ⊥____ ，_____ =_____. 1 2 2 BD CD AD BC BD 1 BCAD CD 画出任意一个等腰三角形的底 角平分线、这个底角所对的腰 上的中线和高，看看它们是否 重合？ 1.等腰三角形的顶角一定是锐角. 2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、 钝角都可以. 3.钝角三角形不可能是等腰三角形. 4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边. 5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合. 6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角. （X） （X） （X） （X） （√） （√） 例3 已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC. (1)如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE； (2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC. 典例精析 图②图① 证明：(1)如图①，过A作 AG⊥BC于G. ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴BG＝CG，DG＝EG， ∴BG－DG＝CG－EG， ∴BD＝CE； (2)∵BD＝CE，F为DE的中点， ∴BD＋DF＝CE＋EF， ∴BF＝CF. ∵AB＝AC，∴AF⊥BC. 图② 图① G 方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加 辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的 辅助线． 当堂练习 2.如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=70°，则 ∠BAC的大小为（  ） A．40° B．30° C．70° D．50° A 1.等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（  ） A．30°，60° B．45°，45° C．45°，90° D．20°，70° B 3.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为____ __； (2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为 ____________________； (3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为_ ___ __. 75°, 30° 72°,72°或36°,108° 30°，30° 4.在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的 直线相交得的锐角为50°，则底角的大小为___________． A B C 70°或20° 注意：当题目未给定三角形的形状时，一般需分锐角三角形和钝角三 角形两种情况进行讨论. A B C 5.如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC边上的中点， ∠B = 30°，求 ∠BAD 和 ∠ADC的度数. A B CD 解：∵AB=AC，D是BC边上的中点， ∴ ∠C= ∠ B=30°， ∠BAD = ∠ DAC，∠ADC = 90°. ∴∠ BAC =180° - 30°-30° = 120°. ∴ =60°. 6.如图，已知△ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且 ∠DBC＝∠F，求证：EC∥DF. ∴∠DBC＝∠ECB. ∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F，∴EC∥DF. 证明：∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB. 又∵BD、CE为底角的平分线， ∴ 7.A、B是4×4网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请 在图中标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点 C的位置． A B 分别以A、B、C为顶角 顶点来分类讨论！ 8个 这样分类就不 会漏啦！ C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 拓展提升： 课堂小结 等腰三角形的 性 质 等 边 对 等 角 三 线 合 一 注意是指同一个三角形中 注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线 才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平 分线不具有这一性质.