八年级数学上册13.3等腰三角形13.3.1第2课时等腰三角形的判定课件（新人教版）

13.3 等腰三角形 第十三章 轴对称 第2课时 等腰三角形的判定 学习目标 1 .掌握等腰三角形的判定方法.（重点） 2.掌握等腰三角形的判定定理，并运用其进行证明和计 算.（难点） 导入新课 情境引入 在△ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留 下一条底边BC和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画 出来？ A B C A 讲授新课 等腰三角形的判定一 A B C 如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报 警，当时测得∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出 发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？ 互动探究 已知：如图，在△ABC中, ∠B=∠C,那么它们所对的边AB和 AC有什么数量关系? 建立数学模型： C A B 做一做：画一个△ABC，其中∠B=∠C=30°， 请你量一量AB与AC的长度，它们之间有什么 数量关系，你能得出什么结论？ AB=AC 你能验证你的结论吗？ 在△ABD与△ACD， ∠1=∠2， ∴ △ABD ≌ △ACD. ∠B=∠C， AD=AD， ∴AB=AC. 过A作AD平分∠BAC交BC于点D.证明： C A B 21 D （ （ △ABC是等腰三 角形. ∴ AC=AB. ( ) 即△ABC为等腰三角形. ∵∠B=∠C， ( ) 知识要点 等腰三角形的判定方法 如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形 （简写成“等角对等边”）. 已知 等角对等边 在△ABC中， 应用格式： B C A ( ( 这又是一个判定两条线段相等的 根据之一. A B CD 21 ∵∠1=∠2 , ∴ BD=DC （等角对等边）. ∵∠1=∠2, ∴ DC=BC A B C D 2 1 （等角对等边）. 错，因为都不是在同一个三角形中. 辨一辨：如图,下列推理正确吗? 典例精析 例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三 角形是等腰三角形． 已知： 如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC． 求证：AB=AC． 证明：∵AD∥BC， ∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等）， ∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）． 又∵∠1=∠2， ∴∠B=∠C， ∴AB=AC（等角对等边）． A B C E （ （ 1 2 D 例2 已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC. 求证：AB=AD B A D C 证明：∵ AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC. ∵ BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC， ∴∠ABD=∠ADB， ∴AB=AD. 总结：平分角+平行=等腰三角形 如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠， 重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ B C A D E 变式训练 是 由折叠可知， ∠EBD=∠CBD. ∵AD∥BC， ∴∠EDB=∠CBD， ∴∠EDB=∠EBD， ∴BE=DE，△EBD是等腰三角形. 练一练： 1.在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定 △ABC是等腰三角形的是（ ） A. ∠A＝50°，∠B＝70° B. ∠A＝70°，∠B＝40° C. ∠A＝30°，∠B＝90° D. ∠A＝80°，∠B＝60° B 2.如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB， 若OD＝3cm，则CD等于_______.3cm 例3 已知等腰三角形底边长为a,底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形. a h 作法：1.作线段AB=a. 2.作线段AB的垂直平分线MN，交AB 于点D. 3.在MN上取一点C，使DC=h. 4.连接AC，BC，则△ABC即为所求. A B C M N D 例4 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是 ∠BAC的平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形． 证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°， ∴∠B＋∠BAC＝90°. ∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠ACD. ∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠EAC， ∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE， ∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形． 方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是 先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个 不同的三角形中，此结论不一定成立． 例5 如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线 交于点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F. 探究EF、BE、FC之间的关系. OO AA BB CC EE FF 解：EF=BE+CF. 理由如下：∵ EF∥BC, ∴∠EOB=∠CBO，∠FOC=∠BCO. ∵ BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB， ∴∠CBO＝∠ABO，∠BCO＝∠ACO， ∴∠EOB＝∠ABO ，∠FOC＝∠ACO， ∴BE＝OE，CF=OF， ∴ EF=EO+FO＝BE+CF. AA BB CC OOEE FF 若AB≠AC，其他条件不变， 图中还有等腰三角形吗？ 结论还成立吗？ 方法总结：判定线段之间的数量关系，一般做法是通过全等或 利用“等角对等边”，运用转化思想，解决问题. 当堂练习 1.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别 是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有(   ) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2.一个三角形的一个外角为130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍. 这个三角形是（ ） A．钝角三角形   B．直角三角形   C．等腰三角形   D．等边三角形 C A 1 3.如图，直线a、b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上， 直线b上存在点B，使以点O、A、B为顶点的三角形是等 腰三角形，这样的B点有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 O a b D A 解析：（1）以O 为圆心OA长为半径画 弧，与直线b有两个交点； （2）以A为圆心OA长为半径画弧，与 直线b有一个交点； （3）作线段OA的垂直平分线，与直线 b有一个交点 4.如图，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则 ∠DBC=_____，∠BDC=_____，图中的等腰三角形有 _______________________. 36° 72° △ABC、 △DBA、 △BCD A B C D 5.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交 AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为_____.9 第4题图 第5题图 6.如图,上午10 时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向 正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得 ∠NAC=40°，∠NBC=80°.求从B处到灯塔C的距离. 解：∵∠NBC=∠A+∠C， ∴∠C=80°- 40°= 40°， ∴ ∠C = ∠A， ∴ BA=BC（等角对等边）. ∵AB=20×（12-10）=40(海里), ∴BC=40海里. 答：B处距离灯塔C40海里. 80° 40° N B A C 北 7.已知：如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D. 求证：BC＝CD. 证明：连接BD. ∵AB=AD， ∴∠ABD=∠ADB. ∵∠ABC=∠ADC， ∴∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB， 即∠DBC=∠BDC， ∴BC=CD. 课堂小结 等腰三角形的 判 定 等 角 对 等 边 定 义 注意是指同一个三角形中 有两边相等的三角形是等腰三角形