八年级数学上册第十三章轴对称小结与复习课件（新人教版）

小结与复习 第十三章 轴对称 要点梳理 一、轴对称相关定义和性质 (1)如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这 个图形就叫作____________，这条直线就是它的_________. (2)如果一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么 就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线就是它的对称轴. 轴对称图形对称轴 1.定义 (3)轴对称图形的________，是任何一对对应点所连线段的垂直 平分线. 2.性质 (1)关于某直线对称的两个图形是全等图形; (2)如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点 所连线段的__________；垂直平分线 对称轴 三、平面直角坐标系中轴对称 (x,-y)点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为 . 点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为 .(-x,y) 四、等腰三角形的性质及判定 1.性质 (1)两腰相等; 二、垂直平分线的性质和判定 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离 ______.相等 判定：与线段两个______距离相等的点在这条线段的垂直平分线 上． 端点 (4)___________、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一 ” 顶角平分线 2.判定 (1)有两边相等的三角形是等腰三角形; (2)如果一个三角形中有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等 （简写成“____________”）.等角对等边 (3)两个_______相等，简称“等边对等角”;底角 (2)轴对称图形,等腰三角形的顶角平分线所在的直线是它的对称轴; 五、等边三角形的性质及判定 1.性质 ⑴等边三角形的三边都相等; ⑵等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于________; ⑶是轴对称图形，对称轴是三条高所在的直线; ⑷任意角平分线、角对边上的中线、对边上的高互相重合，简称“ 三线合一”. 60° 2.判定 ⑴三条边都相等的三角形是等边三角形. ⑵三个角都相等的三角形是等边三角形. ⑶有一个角是60°的___________是等边三角形.等腰三角形 六、有关作图 1.过已知直线外的一点作该直线的垂线 2.作线段的垂直平分线 3.最短路径：(1)牧人饮马问题；(2)造桥选址马问题 考点讲练 考点一 轴对称及轴对称图形 例1 下列“禁止行人通行、注意危险、禁止非机动车通行、限速 60”四个交通标志图中，为轴对称图形的是（  ） A B C D B 针对训练 1.在等腰三角形、圆、长方形、正方形、直角三角形中，一定是轴对称 图形的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 D 2.如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击 打白球时，必须保证∠1的度数为______.60° 考点二 关于坐标轴对称的点的坐标 例2 按要求完成作图： (1)作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； (2)在x轴上找出点P，使PA+PC最小，并直接写出P点的坐标： 解析：(1)先找出点A、B、C关于y轴的对称点， 再依次连线即可. (2)找出点A关于x轴的对称点A'，连接A'C， A'C与x轴的交点即是点P的位置. x y O A B C A1 B1 C1 A1 P 3.在直角坐标系中，点P(a,2)与点A(-3,m)关于y轴对称，则a,m的值分别 为（ ） A. 3，-2 B. -3，-2 C. 3，2 D. -3，2 C 针对训练 方法总结 坐标轴中作轴对称图形，一般先根据点关于坐标轴对称的点的特征，找出对称点， 而后连线即可.点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y) ，关于y轴对称的点的坐标为 (-x,y). 考点三 线段垂直平分线的性质和判定 例3 在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知 AB+BD=DC. 求证：E点在线段AC的垂直平分线上． 解析：要证明点E在线段AC的垂直平分线上， 即要证明AE=EC.根据题意及线段垂直平分线 的定义，得出AB=AE.而后根据AB+BD= DC，进行等量变换，可到AE=EC. 证明：∵AD是高，∴AD⊥BC， 又∵BD=DE， ∴AD所在的直线是线段BE的垂直平分线， ∴AB=AE， ∴AB+BD=AE+DE， 又∵AB+BD=DC， ∴DC=AE+DE， ∴DE+EC=AE+DE ∴EC=AE， ∴点E在线段AC的垂直平分线上． 针对训练 方法总结 线段的垂直平分线一般会与中点、90°角、等腰三角形一同出现，在求角度、三角 形的周长，或证明线段之间的等量关系时，要注意角或线段之间的转化. A B C M N 4.如图：△ABC中，MN是AC的 垂直平分线，若CM=3cm， △ABC的周长是22cm，则 △ABN的周长是 .16cm 考点四 等腰三角形的性质和判定 例4 如图所示，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D. 求证： ∠BAC=2∠DBC. 解析：根据等腰三角形“三线合一”的性质，可作顶角 ∠BAC的平分线，来获取角的数量关系. A B C D )) 1 2 E 解：作∠BAC的平分线AE,交BC于点E,如图所示，则 ∵AB=AC, ∴AE⊥BC. ∴ ∠ 2+ ∠ACB=90 °. ∵BD⊥AC, ∴ ∠DBC+ ∠ACB=90 °. ∴ ∠ 2= ∠DBC. ∴ ∠BAC= 2∠DBC. A B C D )) 1 2 E 方法总结 在涉及等腰三角形的有关计算和证明中，常用的作辅助线的方法是作顶角的角平 分线，而后利用等腰三角形三线合一的性质，可以实现线段或角之间的相互转化. 例5 等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，求该等腰三角 形的顶角的度数. 解：设该等腰三角形中，小角的度数为x,则大角的度数为2x. 当x为底角时， x +x+ 2x=180° 解得 x=45°，则2x=90°. 当x为顶角时， x +2x+ 2x=180° 解得x =36°. 故该等腰三角形顶角的度数为90°或36°. 方法总结 在等腰三角形中，常用到分类讨论思想，一般有如下情况：(1)在求角度时，未指 明底角和顶角；(2)在求三角形周长时，未指明底边和腰；(3)未给定图形时，有时 需分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论. 针对训练 5.如图， △ABC中，∠A=36 °，AB=AC, BD平分 ∠ABC交AC于点D,则图中的等腰三角形共有 个.3 6.如图，已知等边△ABC中，点D、E分别在边AB、 BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在B1处， DB1,EB1分别交边AC于M、H点，若∠ADM=50 °,则 ∠EHC的度数为 .70 ° B C D A A B C D E B1M H 7.如图,在△ABC中,AD是角平分线,AC=AB+BD. 求证∠B=2∠C. 证明：在AC上截取AE=AB，连结DE. E ∵AD是角平分线，∴∠EAD=∠BAD. 又∵AD=AD，∴△EAD≌△BAD， ∴DE=DB，∠AED=∠B. ∵AC=AB+BD=AE+DE=AE+EC，∴CE=ED. ∴∠AED=∠C+∠CDE=2∠C，即∠B=2∠C. 想一想：还有别的证明方 法吗？ 提示：延长AB至F，使 BF=BD，连结DF 8.如图所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC 的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F． 求证：BF=2CF． 证明：连接AF， ∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=30°， ∵AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F， ∴CF=AF， ∴∠FAC=∠C=30°， ∴∠BAF=∠BAC-∠FAC=120°-30°=90°， 在Rt△ABF中，∠B=30°， ∴BF=2AF， ∴BF=2CF． 课堂小结 轴对称 等腰三角形 轴对称图形 垂直平分线 等腰三角形 等边三角形 轴对称的性质 关于坐标轴对称的点 的坐标 轴对称作 图 性质和判定 性质 判定 性质 判定 含30°角的直角三角形的性质 轴 对 称