小结与复习
第十四章 整式的乘法与因式分解
要点梳理
一、幂的乘法运算
1.同底数幂的乘法：底数________,指数______.
a m a n· =_______am+n
不变 相加
2.幂的乘方：底数________,指数______.不变 相乘
a m( ) n =____________a mn
3.积的乘方：积的每一个因式分别_____，再把所得的幂_____.乘方 相乘
ab n( ) =____________a n b n
(1)将_____________相乘作为积的系数；
二、整式的乘法
1.单项式乘单项式：
单项式的系数
(2)相同字母的因式，利用_________的乘法,作为积的一个因式；同底数幂
(3)单独出现的字母，连同它的______，作为积的一个因式；指数
注：单项式乘单项式，积为________.单项式
(1)单项式分别______多项式的每一项；
2.单项式乘多项式：
(2)将所得的积________.
注：单项式乘多项式，积为多项式，项数与原多项式的
项数________.
乘以
相加
相同
3.多项式乘多项式：
先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的______，
再把所得的积________.
每一项
相加
实质是转化为
单项式乘单项
式的运算
三、整式的除法
同底数幂相除，底数_______,指数_________.
1.同底数幂的除法：
a m a n÷ =_______am-n
不变 相减
任何不等于0的数的0次幂都等于________.1
1=a m a m÷ =_______a 0
2.单项式除以单项式：
单项式相除, 把_______、____________分别相除后，作为商的因
式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的_______一起作为商
的一个因式.
系数 同底数的幂
指数
3.多项式除以单项式：
多项式除以单项式，就是用多项式的 除以这个
，再把所得的商 .单项式
每一项
相加
四、乘法公式
1.平方差公式
两数______与这两数______的积,等于这两数的______.和 差 平方差
(a+b)(a-b) =_________a2 b2-
2.完全平方公式
两个数的和（或差）的平方，等于它们的_______，加上（或减去）它
们的______的2倍.
平方和
积
(a+b)2
=______________a2 b22ab++
五、因式分解
把一个多项式化为几个________的________的形式,像这样的式子变形叫
做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
1.因式分解的定定义
整式 乘积
2.因式分解的方法
(1)提公因式法
(2)公式法
①平方差公式：__________________
②完全平方公式：_______________________
a2-b2=(a+b)(a-b)
a2±2ab+b2=(a±b)2
步骤：
1.提公因式；
2.套用公式；
3.检查分解是否彻底；
考点讲练
考点一 幂的运算
例1 下列计算正确的是( )
A．(a2)3＝a5 B．2a－a＝2
C．(2a)2＝4a D．a·a3＝a4
D
例2 计算：(2a)3(b3)2÷4a3b4.
解析：幂的混合运算中，先算乘方，再算乘除.
解：原式=8a3b6 ÷4a3b4=2a3-3b6-4=2b2.
幂的运算性质包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂
的除法.这四种运算性质是整式乘除及因式分解的基础.其逆向运用可
以使一些计算简便，从而培养一定的计算技巧，达到学以致用的目的.
归纳总结
针对训练
1.下列计算不正确的是（ ）
A.2a3 ÷a=2a2 B. (-a3)2=a6
C. a4 ·a3=a7 D. a2 ·a4=a8
2. 计算：0.252015 ×（-4）2015-8100 ×0.5301.
D
解：原式=[0.25 ×（-4）]2015-（23）100 ×0.5300 ×0.5
=-1-（2 ×0.5）300 ×0.5 =-1-0.5=-1.5；
3.(1)已知3m=6,9n=2,求3m+2n,32m-4n的值.
(2)比较大小：420与1510.
(2) ∵420=（42）10=1610，
∵1610>1510,
∴420>1510.
32m-4n=32m÷34n=(3m)2÷(32n)2=(3m)2÷(9n)2=62÷22=9.
解：(1)∵3m=6,9n=2,
∴3m+2n=3m·32n=3m·(32)n=3m·9n=6×2=12.
考点二 整式的运算
例3 计算：[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)] ÷3x2y,其中x=1,y=3.
解析：在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中，一要注意运算顺序；二要熟练
正确地运用运算法则.
解：原式=(x3y2-x2y-x2y+x3y2) ÷3x2y
=(2x3y2-2x2y) ÷3x2y
当x=1,y=3时，
原式=
整式的乘除法主要包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多
项式乘以多项式以及单项式除以单项式、多项式除以单项式，其中
单项式乘以单项式是整式乘除的基础，必须熟练掌握它们的运算法
则.整式的混合运算，要按照先算乘方，再算乘除，最后算加减的顺
序进行，有括号的要算括号里的.
归纳总结
针对训练
4.一个长方形的面积是a2-2ab+a,宽为a,则长方形的长为 ；
5.已知多项式2x3-4x2-1除以一个多项式A,得商为2x，余式为x-1,则这个多项
式是 .
a-2b+1
6.计算：
(1)(－2xy2)2·3x2y·(－x3y4)．
(2)x(x2＋3)＋x2(x－3)－3x(x2－x－1)
(3)(－2a2)·(3ab2－5ab3)＋8a3b2；
(4)(2x＋5y)(3x－2y)－2x(x－3y)；
(5)[x(x2y2－xy)－y(x2－x3y)]÷x2y；
解：（1）原式＝－12x7y9
（2）原式＝－x3＋6x
（3）原式＝2a3b2＋10a3b3
（4）原式＝4x2＋17xy－10y2
（5）原式＝2xy－2
考点三 乘法公式的运用
例4 先化简再求值：[(x-y)2+(x+y)(x-y)] ÷2x,其中 x=3,y=1.5.
解析：运用平方差公式和完全平方公式，先计算括号内的，再计算整式的除法运算.
原式=3-1.5=1.5.
解：原式=(x2-2xy+y2+x2-y2) ÷2x
=(2x2-2xy) ÷2x
=x-y.
当x=3,y=1.5时，
归纳总结
整式的乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，在计算多项式的乘法
时，对于符合这三个公式结构特征的式子，运用公式可减少运算量，提
高解题速度.
7．下列计算中，正确的是( )
A．(a＋b)2＝a2－2ab＋b2
B．(a－b)2＝a2－b2
C．(a＋b)(－a＋b)＝b2－a2
D．(a＋b)(－a－b)＝a2－b2
8．已知(x＋m)2＝x2＋nx＋36，则n的值为( )
A．±6 B．±12 C．±18 D．±72
9．若a＋b＝5，ab＝3，则2a2＋2b2＝________．
针对训练
C
B
38
10．计算：
(1)(x＋2y)(x2－4y2)(x－2y)； (2)(a＋b－3)(a－b＋3)；
(3)(3x－2y)2(3x＋2y)2.
解：(1) 原式= (x＋2y)(x－2y)(x2－4y2)
(2)原式＝[a＋(b－3)][(a－(b-3)]
=(x2－4y2)2=x4－8x2y2＋16y4；
=a2－(b－3)2=a2－b2＋6b－9.
(3)原式＝[(3x－2y)(3x＋2y)]2
=(9x2－4y2)2=81x4－72x2y2＋16y4
11.用简便方法计算
(1)2002－400×199＋1992；
(2)999×1 001.
解：(1)原式＝(200－199)2=1;
(2) 原式＝(1000－1)(1000+1)
＝999999.
＝10002－1
考点四 因式分解及应用
例5 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A．a(x－y)＝ax－ay
B．x2－1＝(x＋1)(x－1)
C．(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3
D．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
B
点拨：(1)多项式的因式分解的定义包含两个方面的条件，第一，等式的左边是一个多项
式；其二，等式的右边要化成几个整式的乘积的形式，这里指等式的整个右边化成积的
形式；(2)判断过程要从左到右保持恒等变形.
例6 把多项式2x2－8分解因式，结果正确的是( )
A．2(x2－8) B．2(x－2)2
C．2(x＋2)(x－2) D．2x(x－ )
C
因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它与整式乘法互为逆
运算，因式分解时，一般要先提公因式，再用公式法分解，因式分解要求
分解到每一个因式都不能再分解为止.
归纳总结
针对训练
12.分解因式：x2y2－2xy＋1的结果是________．
13.已知x－2y＝－5，xy＝－2，则2x2y－4xy2＝________．
14.已知a－b＝3，则a(a－2b)＋b2的值为________．
15.已知x2－2(m＋3)x＋9是一个完全平方式，则m＝________．
(xy－1)2
20
9
－6或0
16.如图所示，在边长为a的正方形中剪去边长为b的小正方形，
把剩下的部分拼成梯形，分别计算这两个图形的阴影部分的面积，
验证公式是 ________ .a2-b2=(a+b)(a-b).
b
a
a a a
b
b
b b b
a-b
17．把下列各式因式分解：
(1)2m(a－b)－3n(b－a)；
(2)16x2－64；
(3)－4a2＋24a－36.
解：(1) 原式＝(a－b)(2m＋3n)．
(2) 原式＝16(x＋2)(x－2)
(3) 原式＝－4(a－3)2
课堂小结
幂
的
运
算
性
质
整式的乘法
整式的除法
互逆运算
乘法公式
（平方差、完全平方公式）
特
殊
形
式
相反变形 因式分解
（提公因式、公式法）
相反变形
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