第十五章 分 式
小结与复习
要点梳理
一、分式
1.分式的概念：
一般地，如果A、B都表示整式，且B中含有字母，那么称
为分式.其中A叫做分式的分子，B为分式的分母.
2.分式有意义的条件：
对于分式 ： 当_______时分式有意义；
当_______时无意义.
B≠0
B=0
3.分式值为零的条件：
当___________时，分式 的值为零.A=0且 B≠0
4.分式的基本性质：
5.分式的约分：
约分的定义
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，
叫做分式的约分．
最简分式的定义
分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式
注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所
得的结果成为最简分式或整式.
约分的基本步骤
(1)若分子﹑分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同
字母的最低次幂；
(2)若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子
﹑分母所有的公因式．
6.分式的通分：
分式的通分的定义
根据分式的基本性质，使分子、分母同乘适当的整式（即最简公分
母），把分母不相同的分式变成分母相同的分式，这种变形叫分式
的通分.
最简公分母
为通分先要确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂
的积作公分母，叫做最简公分母.
二、分式的运算
1.分式的乘除法则：
2.分式的乘方法则：
3.分式的加减法则：
(1)同分母分式的加减法则：
(2)异分母分式的加减法则：
4.分式的混合运算：
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面
的.
计算结果要化为最简分式或整式．
三、分式方程
1.分式方程的定义
分母中含未知数的方程叫做分式方程.
2.分式方程的解法
(1)在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
(2)解这个整式方程.
(3)把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，
则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去.
3.分式方程的应用
列分式方程解应用题的一般步骤
(1)审:清题意，并设未知数；
(2)找:相等关系；
(3)列:出方程；
(4)解:这个分式方程；
(5)验:根（包括两方面 :是否是分式方程的根； 是否符合题
意）；
写:答案.
考点一 分式的有关概念
例1 如果分式 的值为0，那么x的值为 .
【解析】根据分式值为0的条件：分子为0而分母不为0，列出关于x的方
程，求出x的值，并检验当x的取值时分式的分母的对应值是否为零.由题
意可得：x2-1=0, 解得x=±1.当x=-1时，x+1=0;当x=1时，x+1 ≠0.
【答案】1
考点讲练
分式有意义的条件是分母不为0，分式无意义的条件是分母的值为0
；分式的值为0的条件是：分子为0而分母不为0.
归纳总结
针对训练
2.如果分式 的值为零，则a的值为 .2
1.若分式 无意义，则a的值 .-3
考点二 分式的性质及有关计算
B
例2 如果把分式 中的x和y的值都扩大为原来
的3倍，则分式的值（ ）
A.扩大为原来的3倍 B.不变
C.缩小为原来的 D.缩小为原来的
针对训练
C3.下列变形正确的是( )
例3 已知x= ,y= ，求 的值.
【解析】本题中给出字母的具体取值，因此要先化简分式再代入求值.
把x= ,y= 代入得
解：原式=
原式=
对于一个分式，如果给出其中字母的取值，我们可以先将分式进行化
简，再把字母取值代入，即可求出分式的值.但对于某些分式的求值
问题，却没有直接给出字母的取值，而只是给出字母满足的条件，这
样的问题较复杂，需要根据具体情况选择适当的方法.
归纳总结
例4
解析：本题若先求出a的值，再代入求值，显
然现在解不出a的值，如果将 的分子、
分母颠倒过来，即求 的值，
再利用公式变形求值就简单多了．
利用x和1/x互为倒数的关系，沟通已知条件与所求未知代数式
的关系，可以使一些分式求值问题的思路豁然开朗，使解题过程
简洁．
归纳总结
5.已知x2-5x+1=0,求出 的值.
解：因为x2-5x+1=0, 得 即
所以
针对训练
考点三 分式方程的解法
例5 解下列分式方程：
【解析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检
验即可确定出分式方程的解．
解：（1）去分母得x+1+x﹣1=0，解得x=0，
经检验x=0是分式方程的解；
（2）去分母得x﹣4=2x+2﹣3，解得x=﹣3，
经检验x=﹣3是分式方程的解．
解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整
式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
归纳总结
解：最简公分母为（x+2）（x﹣2），
去分母得（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）=16，
整理得﹣4x+8=16，解得x=﹣2，
经检验x=﹣2是增根，故原分式方程无解．
针对训练
考点四 分式方程的应用
例6 从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路
程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．
(1)求普通列车的行驶路程；
解析：(1)根据高铁的行驶路程是400千米和普通列车的行驶路程是
高铁的行驶路程的1.3倍，两数相乘即可；
解：(1)根据题意得400×1.3＝520(千米)．
答：普通列车的行驶路程是520千米；
(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5
倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高
铁的平均速度．
解析：设普通列车的平均速度是x千米/时，根据高铁所需时间比
乘坐普通列车所需时间缩短3小时，列出分式方程，然后求解即可
．
解：设普通列车的平均速度是x千米/时，则高铁的平均速度
是2.5x千米/时，根据题意得
解得x＝120，经检验x＝120是原方程的解，则高铁的平均速
度是120×2.5＝300(千米/时)．
答：高铁的平均速度是300千米/时．
针对训练
7.某施工队挖掘一条长90米的隧道，开工后每天比原计划多挖1米，
结果提前3天完成任务，原计划每天挖多少米？若设原计划每天
挖x米，则依题意列出正确的方程为（ ）
A. B.
C. D.
D
8. 某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该
款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的 倍，购进数量比第一次
少了30支.求第一次每支铅笔的进价是多少元？
解：设第一次每支铅笔进价为x元，根据题意列方程，得
解得 x=4.
经检验，故x=4原分式方程的解.
答：第一次每支铅笔的进价为4元.
考点五 本章数学思想和解题方法
主元法
例7.已知： ，求 的值.
【解析】由已知可以变形为用b来表示a的形式，可得
，代入约分即可求值.
解：∵ ， ∴ .
∴
已知字母之间的关系式，求分式的值时，可以先用含有一个字母的代数
式来表示另一个字母，然后把这个关系式代入到分式中即可求出分式的
值.这种方法即是主元法，此方法是在众多未知元之中选取某一元为主元，
其余视为辅元.那么这些辅元可以用含有主元的代数式表示，这样起到了
减元之目的，或者将题中的几个未知数中，正确选择某一字母为主元，
剩余的字母视为辅元，达到了化繁入简之目的，甚至将某些数字视为主
元，字母变为辅元，起到化难为易的作用.
归纳总结
解：由 ，得 ，
把 代入可得原式=
9.已知 ，求 的值.
本题还可以由已知条
件设x=2m,y=3m.
针对训练
分 式
分 式
分式的定义及有意义的条件等
分 式 方 程
分 式 方 程 的
应 用
步 骤
一审二设三列四解五检六写，
尤其不要忘了验根
类 型 行程问题、工程问题、销售
问题等
分式的运算及化简求值
分式方程的定义
分式方程的解法
课堂小结
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