用一元二次方程解决实际问题
第21章：一元二次方程
【常见类型】
列一元二次方程解决实际问题的常见类型有以下几种
（1）增长率问题
（2）几何中面积、长度问题
（3）假设存在问题
（4）排列组合问题
（5）销售问题
（一）增长率问题
例1 某市为了解决市民看病难的问题，决定下调
药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由
每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次
降价的百分率是多少？
解：设这种药品平均每次降价的百分率是x．
根据题意，得200(1－x)2＝128．
解得x1＝0.2，x2＝1.8（不合题意，舍去）．
答：这种药品平均每次降价20% ．
知识点归纳
1. 列一元二次方程解应用题的一般步骤与列一元
一次方程解应用题一样，所以列一元二次方程解应
用题的一般步骤也归纳为：审、设、列、解、检验、
答这六个步骤．
（1）审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，
哪些是未知量以及它们之间的等量关系；
（2）设：是指设元，也就是设未知数；
（3）列：就是列方程，这是非常重要的关键步骤，一般先
找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代
数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，
即方程；
（5）检验：列方程解应用题时，要对所求出的未知数进行
检验，检验的目的有两个：其一，检验求出来的未知数的值
是否满足方程；其二，检验求出的未知数的值是不是满足实
际问题的要求，对于适合方程而不适合实际问题的未知数的
值应舍去；
（4）解：就是解方程，求出未知数的值；
（6）答：就是写出答案，其中在书写时还要注意不要漏写
单位名称．
2．对于“增长率”问题，如人口的减少、利率的
降低、汽车的折旧等等，都是在原来基数上减少，
不能与一般性的增加和减少相混淆．
例2 如图所示，一架长为10 m的梯子斜
靠在墙上，梯子的顶端A处到地面的距离
为8 m，如果梯子的顶端沿墙面下滑2 m
，那么梯子的底端在地面上滑动的距离是
多少？
A
A
’
C B B’
（二）几何中面积、长度问题
A
A’
C B B’
小结
1．解法二和解法一相比更简单，它利用“图形经过移动，
它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，
可以使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，
仍可按原图的位置修路）．
2．有些同学在列方程解应用题时，往往看到正解就保留，
看到负解就舍去．其实，即使是正解也要根据题设条件
进行检验，该舍就舍．此题一定要注意原矩形“宽为20
m、长为32 m”这个条件，从而进行正确取舍．
小结
例5 在一次聚会中，每两个参加聚会的人都相互握了一次
手，一共握了45次手，问参加这次聚会的人数是多少？
（四）排列组合问题
例6 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售出20件，
每件盈利40元，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，
商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天要盈利
1200元，每件衬衫应降价多少元？
（五）销售问题
分析：这类销售问题，涉及的数量关系比较多，我们可
以通过列表的方式来分析其中的数量关系．
每天的销售量
（件）
每件衬衫的盈利
（元） 总利润（元）
降价前
降价后
20 40 800
20＋2x 40－x 1200
例7 某批发商以每件50元的价格购进800件T恤．第一个月以单
价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍
可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市
场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于
购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一性清
仓，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低x元．
（1）填表（不需化简）：
时间 第一个月 第二个月 清仓
单价（元） 80 40
销售量（件） 200
（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么
第二个月的单价应是多少元？
分析：
时间 第一个月 第二个月 清仓
单价（元） 80 40
销售量（件） 200
800－200－（200＋
10x）
80－x
200＋10x
1．列方程解实际问题，一般分为审题、设未知数、列方程、
解方程、检验、写出答案这六步进行，其中审题过程虽在草稿
纸上进行，但这一步非常重要，只有经过认真审题，分清已知
条件和所求量，明确量与量之间的数量关系，才能准确找出相
等关系，列出方程．
【方法总结】
2．在列一元二次方程解实际问题时还要注意一些关键
的词语，如“多”、“倍”、“差”、“提前”、“
同时”、“早到”、“迟到”、“增加几倍”等．
3．在解决复杂问题时，我们可以借助于列表格等辅助
方式弄清题目中的数量关系，列出方程．
4．一元二次方程是我们日常生活中解决许多问题的有效模型，
我们要善于利用列一元二次方程求解这个数学模型解决实际生
活中的各种问题，并注意要根据实际意义进行解释和检验，从
中体会数学建模的思想方法．
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