第22章：二次函数
22.2 二次函数与一元一次方程
学习目标：
1.了解二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.理解一元二次方程根的几何意义，会灵活运用一元二次方程根的
判别式处理二次函数图象与x轴的交点问题。
问题1：如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成300角的
方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空
气的阻力，球的飞行h（单位：m）与飞行时间t（单位：
s）之间具有关系：h=20t-5t2，考虑以下问题：
（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行
时间？
（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行
时间？
你能结合图形指出
为什么在两个时间
球的高度为15m？
O
h
t
15
1 3
解：（1）解方程
15=20t-5t2
T2-4t+3=0
t1=1,t2=3
（2）球的飞行高度能否达到20m？
如果能，需要多少飞行时间？
你能结合图形指出
为什么只在一个时间
球的高度为20m？
（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行
时间？
你能结合图形指出
为什么只在一个时间球的高
度为20m？
O
h
t
20
4
?
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？
如果能，需要多少飞行时间？
O
h
t你能结合图形指出
为什么球不能达到20.5m的高度?
20.5
解：（2）解方程
20=20t-5t2
T2-4t+4=0
t1=t2=2
当球飞行2秒时，它的高度为20米。
解：（3）解方程
20.5=20t+5t2
T2-4t+4.1=0
因为（-4）2-4×4.1＜0，所以方程无解。
球的飞行高度达不到20.5米
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
O
h
t
你能结合图形指出为什么在两个时间球的高度为0m吗?
解：（4）解方程
0=20t-5t2
T2-4t=0
t1=0，t2=4
当球飞行0秒和4秒时，它的高度为0米。
即0秒时球从地面飞出，4秒时球落回地面。
例如,已知二次函数y=-X2+4x的值为3,求自变量x的值.
就是求方程3=-X2+4x的解,
例如,解方程X2-4x+3=0
就是已知二次函数y=X2-4x+3的值为0,求自变量x的值.
从以上可以看出，已知二次函数y的值为m，求相应自变量x
的值，就是求相应一元二次方程的解。
观察:下列二次函数的图
象与x轴有公共点吗?如
果有,公共点横坐标是多
少?当x取公共点的横坐
标时,函数的值是多少?
由此,你得出相应的一
元二次方程的解吗?
(1)y=x2+x-2
(2)y=x2-6x+9
(3)y=x2-x+1
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次
方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
解：（1）设y=0得x2+2-2=0
(x-1)(x+2)=0
X1=1,x2=-2
所以抛物线y=x2+x-2与X轴有两个公共点，
公共点的横坐标分别是1和-2，
当x取公共点的横坐标时，函数的值为0
解：（2）设y=0得x2-6x+9=0
(x-3)2=0
X1=x2=3
所以抛物线y=x2-6x+9与X轴有两个公共点，
公共点的横坐标是3，
当x取公共点的横坐标时，函数的值为0
解：（2）设y=0得x2-x+1=0
因为b2-4ac=(-1)2-4×1×1=-3＜0
方程x2-x+1=0没有实数根
所以抛物线y=x2-6x+9与x轴没有公共点。
判别式：
b2-4ac
二次函数
y=ax2+bx+c
（a≠0）
图象 一元二次方程
ax2+bx+c=0
（a≠0）的根
x
y
O
与x轴有两个不
同的交点
（x1，0）
（x2，0）
有两个不同的解x=x1
，x=x2b2-4ac＞0
x
y
O
与x轴有唯一个
交点 有两个相等的解
x1=x2=b2-4ac=0
x
y
O
与x轴没有
交点 没有实数根b2-4ac＜0
方法: (1)先作出图象;
(2)写出交点的坐标;
(3)得出方程的解.
利用二次函数的图象求方程x2-x-3=0的实数根（精确到0.1）.
-1 3
y
x2O
Y=x2-x-3
C
A
（1）抛物线y=x2+2x-3与x轴的交点个数有（）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
（2）抛物线y=mx2-3x+3m+m2经过原点，
则其顶点坐标为________________.
(3)关于x的一元二次方程x2-x-n=0没有实数根，则抛物线
y=x2-x-n的顶点在（）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
解：（1） b2-4ac=22-4×1×（-3）=16＞0 有两个交点
（2）抛物线经过原点 0=3m+m2 m(m+3)=0
m=-3 m=0(舍去)
但m=-3时抛物线的解析式为y=-3x2 -3x=-3（x2 +x+ ）+
=-3（x+ ）2 + 顶点为（- ）
1
4
3
41
2
3
4 1
2
3
4
解：（3） b2-4ac＜0 （-1）2 -4×1×（-n） ＜0
1+4n ＜0 n ＜- 1
4
b
2a- =- = ＞0-1
2×1
1
2
4ac-b2
2a = 4×1×（-n）-(-1)2
4×1 = -4n-1
4
n＜- 1
4 -4n＞1 -4n-1＞0 -4n-1
4 ＞ 0
顶点在第一象限
• （4）一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是x1= -2
,x2=5/3, 那么二次函数y= 3 x2+x-10与x轴的交点坐标是
＿＿＿＿.
一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2 ,则抛物线
y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是(x1,0),(x2,0)
（5）根据下列表格的对应值:
判断方程ax2+bx+c=0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是( )
A 3< X < 3.23 B 3.23 < X < 3.24 C 3.24
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