九年级数学上册24.1圆垂径定理圆心角圆周角124.1.4圆周角课件（新人教版）

第24章 24.1圆、、垂径定理、圆心角、圆周角（1） 24.1.4 圆周角 • 1.理解圆周角定义，了解圆周角与圆心角的关系，会在具 体情景中辨别圆周角。 • 2.掌握圆周角定理及推论，并会运用这些知识进行简单的 计算和证明。 • 3.经历操作、观察、猜想、分析、交流、论证等数学活动 过程，体验圆周角定理的探究过程，培养合情推理能力、 逻辑思维能力、推理论证能力和用几何语言表达的能力。 学习目标： 复习旧知：请说说我们是如何给圆心角下定义的，试回答？ 顶点在圆心的角叫圆心角。 能仿照圆心角的定义，给下图中象∠ACB 这样的角下个定义吗？ 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角 叫做圆周角． P P P P 不是 是 不是 不是 顶点不在 圆上。 顶点在圆上，两 边和圆相交。 两边不和圆相 交。 有一边和圆不相 交。 问题探讨： 判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理由。 有没有圆周角？ 有没有圆心角？ 它们有什么共同的特点？ 它们都对着同一条弧 ⌒ ⌒ 画一个圆,再任意画一个圆周角,看一下圆心在什么位置? 圆心在一边上 圆心在角内 圆心在角外 • 如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关 系? ●O A B C ●O A B C ●O A B C 圆周角和圆心角的关系 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. ●O A B C第二种情况：如果圆心不在圆周角的一边上,结果会 怎样? 2.当圆心O在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC 与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? 提示:能否转化为1的情况? 过点B作直径BD.由1可得: ●O ∴ ∠ABC = ∠AOC. A B C D ∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD, 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. ●O A B C 第三种情况：如果圆心不在圆周角的一边上,结果 会怎样? 3.当圆心O在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? 提示:能否也转化为1的情况? 过点B作直径BD.由1可得: ●O ∴ ∠ABC = ∠AOC. 你能写出这个命题吗? 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. D ∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD, A B C 巩固练习： 如图，点A,B,C,D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个 内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？ A B C D 1 2 3 4 5 6 78 圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系 在同圆或等圆中，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。 在同圆或等圆中， ·A B C1 O C2 C3 归纳： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这 条弧所对的圆心角的一半． 定理 半圆（或直径）所对的圆周角是直角; 90°的圆周角所对的弦是直径．  在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等 推论 2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=__________。 O A B CBA O. 70° x 1.求圆中角X的度数 A O. X 120° A O. X 120° C C D B 练习： 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对 弧一定相等吗？为什么？ 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相 等，它们所对的弧一定相等． B A C D E E ●O B D C A 规律：都相等，都等于圆心角∠AOC的一半 AC所对的圆周角∠ AEC ∠ ABC ∠ ADC的 大小有什么关系？ ⌒ 结论：同弧或等弧所对的圆周角相等。 •当球员在B,D,E处射门时,他所处 的位置对球门AC分别形成三个张 角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角 的大小有什么关系?. A B C D 在同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧相等. 则 ∠ D=∠A ∴AB∥CD 如图, 若 AC = BD ⌒ ⌒ 问题1：如图，AB是⊙O的直径，请问： ∠C1、∠C2、∠C3的度数是 。 A BO C1 C2 C3 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直90° 的圆周角所对的弦是直径。 问题2： 若∠C1、∠C2、∠C3是直角，那么 ∠AOB是 。 90° 180° 探究与思考： • 1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等 于（ ） • A、50°； B、80°； C、90°； D、 100° A C B O D 2、如图，△ABC是等边三角形，动点P在圆周的劣弧 AB上，且不与A、B重合，则∠BPC等于（ ） A、30°； B、60°；C、90°； D、45° C A B P B 练一练 • 3、如图，∠A=50°， ∠AOC=60 ° • BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（ ） • A、70°； • B、110°； • C、90°； • D、120° B A CB O DE 练一练 • 3、如图，∠A=50°， ∠AOC=60 ° • BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（ ） • A、70°； B、110°； • C、90°； D、120° B 4、如图，△ABC的顶点A、B、C 都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2， 则⊙O的半径是 。 A CB O DE C A B O 解：连接OA、OB ∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 ° 又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2，即半径为2。 2 3.已知⊙O中弦AB的等于半径， 求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。 O A B 圆心角为60度 圆周角为 30 度 或 150 度。  在⊙O中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求∠A  在⊙O中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求∠A 2、如图，在⊙O中，AB为直径，CB = CF, 弦CG⊥AB，交AB于D，交BF于E 求证：BE=EC ⌒⌒ 例: 如图，AB是⊙O的直径AB=10cm,弦AC=6cm,∠ACB的 平分线交⊙O于点D . 求 BC, AD ,BD 的长. 10 6 练习:如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两点,若 ∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿. A BO C D 40° 5.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法 ？与同学交流一下． D A B C O O O · 方法一 方法二 方法三 方法四 A B 例2 在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进 攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点(如图2)．此时甲是自己 直接射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？ 分析 在真正的足球比赛中情况会很复杂，这里仅用数学方法从 两点的静止状态加以考虑，如果两个点到球门的距离相差不大， 要确定较好的射门位置，关键看这两个点分别对球门MN的张 角大小，当张角较小时，则球容易被对方守门员拦截.怎样比较 A、B两点对MN张角的大小呢？ 例2 在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN 进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点(如图2)．此时甲是 自己直接射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？ 分析 在真正的足球比赛中情况会很复杂，这里仅 用数学方法从两点的静止状态加以考虑，如果两 个点到球门的距离相差不大，要确定较好的射门 位置，关键看这两个点分别对球门MN的张角大 小，当张角较小时，则球容易被对方守门员拦截. 怎样比较A、B两点对MN张角的大小呢？ 解 考虑过M、N以及A、B中的任一点作一 圆，这里不妨作出⊙BMN，显然，A点在 ⊙BMN外，设MA交圆于C，则 ∠MAN＜∠MCN，而∠MCN=∠MBN， 所以∠MAN＜∠MBN． 因此，甲应将球回传给乙，让乙射门. A B E C O D 如图所示，已知⊿ABC的三个顶点都在⊙O上，AD是⊿ABC的高， AE是⊙O的直径. 求证：∠BAE＝∠CAD • 回顾：圆周角定理及推论？ • 思考：判断正误： 1.同弧或等弧所对的圆周角相等（  ） 2.相等的圆周角所对的弧相等（  ） 3.90°角所对的弦是直径（  ） 4.直径所对的角等于90°（   ） 5.长等于半径的弦所对的圆周角等于30°（ ） 第二课时 应用 例 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交 ⊙O于D，求BC、AD、BD的长． 又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2， 解：∵AB是直径， ∴ ∠ACB= ∠ADB=90°． 在Rt△ABC中， ∵CD平分∠ACB， ∴AD=BD. 例题 3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是 直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.） ·A B C O 求证： △ABC 为直角三角形. 已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线， 且CO= AB ·A B C O 证明： CO= AB, 以AB为直径作⊙O， ∵AO=BO， ∴AO=BO=CO. ∴点C在⊙O上. 又∵AB为直径, ∴∠ACB= ×180°= 90°. ∴ △ABC 为直角三角形. • 1.如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC ，∠ACB与∠BAC的大小有什么关系？为什么？ •2.如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，且 ∠BCD=100°，求∠BOD（ 所对的圆心角） 和∠BAD的大小。 课堂练习 • 3、如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C ，使DC=BD，连接AC交⊙O于点F，点F不与点A重合。 • （1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？ • （2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三角形， 并说明理由。 A CB D F·O 探究 A CB D F·O ∴△ABC是锐角三角形 解：（1）AB=AC。 证明：连接AD 又∵DC=BD，∴AB=AC。 （2）△ABC是锐角三角形。 由（1）知，∠B=∠C＜90 ° 连接BF，则∠AFB=90 °，∴∠A＜90 ° ∵AB是直径，∴∠ADB=90°， 1.AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使 AD=AB ，如果∠ADB=35° ， 求∠BOC的度数。 ⌒ ⌒2、如图，在⊙O中， BC=2DE， ∠BOC=84°， 求∠ A的度数。 ∠BOC =140° ∠A=21° 4、在⊙O中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x+100)° 和(5x-30)°，则x=_ _； 3. 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D 为半圆上的两点，∠COD=50°，则 ∠CAD=______； 20° 50° 如图,点P是⊙O外一点,点A、B、Q是⊙O上的点。 （1）求证∠P＜ ∠AQB （2）如果点P在⊙O内， ∠P与∠AQB有怎样的关系？为什么 ？ 拓展练习