九年级数学上册24.2点和圆直线和圆的位置关系24.2.2直线与圆3切线的判定和性质课件（新人教版）

第24章 24.2.2直线与圆（3） 切线的判定和性质 下雨天转动雨伞时飞出的水，以及在砂轮上打磨工件飞出的火星， 均沿着圆的切线的方向飞出． 1 . 当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向？ 2. 砂轮打磨零件飞出火星的方向是什么方向？ 生 活 中 的 数 学 探究： 在⊙O中， 作任一条半径OP， 过点P作PQ⊥OP PQ是⊙O的切线 已知⊙O ，过点P你能作出它的一条切线吗？你是怎 样判断这条直线是⊙O的切线的？ O PQ 经过半径的外端且垂于这条半径 的直线是圆的切线。 条件： (1)经过半径的外端； (2)垂直于过该点半径； ● O ┐ A l ∵l⊥OA，且l 经过⊙O上 的A点 ∴直线l是⊙O的切线 符 号 语 言 表 达 圆的切线判定定理： × × × OO rr ll AA OO rr ll AA OO rr ll AA ● O ┐ A l 1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ ） 2. 与半径垂直的直线是圆的切线（ ） 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ） 请你总结一下：圆的切线的判定有几种方法？ 精彩源于发现 1、如何判定一条直线是已知圆的切线？ (1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线； (2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； (3)过半径外端点且和半径垂直的直线是圆的切线； (d=r) 知识清单： 1、矩形的两边长分别为2.5和5，若以较长一边为直径作半圆，则 矩形的各边与半圆相切的线段最多有（ ） A、0条 B、 1条 C、 2条 D、 3条 D 2、已知如图△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF，AB为直径,还 需添加的条件是____________.使得EF是⊙O的切线。 F E C O B A OO BBAA CC 分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连 接OC，只要证明______________ 即可。 证明：连结OC(如图)。 ∵ 在△OAB中 OA＝OB,CA＝CB, ∴ AB⊥OC。 ∵直线AB经过⊙O上的点C ∴ AB是⊙O的切线。 已知：直线AB经过⊙O上的点C，且OA=OB,CA=CB 求证：直线AB是⊙O的切线。 AB⊥OC 例题讲解（1） 已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D, 以O为圆心，OD为半径作⊙O。 求证：⊙O与AC相切。 OOAA BB CC EE DD 证明：过O作OE⊥AC，垂足为E。 ∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB ∴ OE＝OD ∵ OD是⊙O的半径 ∴ OE是⊙O的半径 ∴ AC是⊙O的切线。 例题讲解（2） OO BBAA CC OOAA BB CC EE DD 闯关练习1与闯关练习2的证法有何不同? (1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所 作半径与这直线垂直。简记为：连半径,证垂直。 (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线 段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。 ●O P 1、已知：P为⊙O外一点，以OP为直径作圆交⊙O于A、B 两点，连接PA、PB 那么PA、PB是⊙O的切线吗？ A B 证明：连结OP。 ∵ ABAB为直径为直径 ∴ OB=OA，BP=PC， ∴OP∥AC。 又∵ PE⊥AC， ∴PE⊥OP。 ∴PE为⊙0的切线。 如图,△ABC中，以AB为直径的⊙O交边BC于P， BP=PC, PE⊥AC于E。 求证:PE是⊙O的切线。 OO AA BB CC EE PP 谈谈今天的收获 1. 判定切线的方法有哪些？ 直线l 与圆有唯一公共点 与圆心的距离等于圆的半径 经过半径外端且垂直这条半径 l是圆的切线 2. 证明圆的切线常用辅助线作法： ⑴连半径，证垂直 ⑵作垂直，证半径 l是圆的切线 l是圆的切线 1.定义法:和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线. 2.数量法(d=r):和圆心距离等于半径的直线是圆的切线. 3.判定定理:经过半径外端且垂直于这条半径的直线是 圆的切线. 即:若直线与圆的一个公共点已指明,则连接这点和圆心,说明直线垂直于经 过这点的半径;若直线与圆的公共点未指明,则过圆心作直线的垂线段,然后 说明这条线段的长等于圆的半径． 证明直线与圆相切有如下三种途径: .OO AA ll 将上页思考中的问题反过来, 如果l是⊙O的切线,切点为A, 那么半径OA与直线l是不是一 定垂直呢? 一定垂直一定垂直 切线的性质定理切线的性质定理:: 圆的切线垂直于过切点的半径圆的切线垂直于过切点的半径 1.切线和圆只有一个公共点. 2.切线和圆心的距离等于半径. 3.切线垂直于过切点的半径. 4.经过圆心垂直于切线的直线必过切点. 5.经过切点垂直于切线的直线必过圆心. 切线的性质３、４、５可归纳为:已知直线满足a.过圆心,b.过 切点,c.垂直于切线中任意两个,便得到第三个结论. 切线的性质： 思考： 求圆心A到x轴、y轴的距离各是多少 ? y 4: 已知⊙A的直径为6,点A的坐标为(-3,-4),则x轴与⊙A的位置关系是 ____________, y轴与⊙A的位置关系是_______________. A.(-3,-4) O x B C 4 3 相离 相切 1.如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,点C在圆上 ,∠CAB=30°. 求证:DC是⊙O的切线. .A B D C O 方法引导 当已知直线与圆有公共点,要证明直线 与圆相切时,可先连接圆心与公共点,再证明 连线垂直于直线 ,这是证明切线的一种方法. 练习 3.在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的平分线交BC于D,以D为圆心,DB长为半 径作⊙D.试说明:AC是⊙D的切线. FFE