九年级数学上册24.2点和圆直线和圆的位置关系24.2.2直线与圆3切线长定理4课件（新人教版）

第24章 切线长定理4 24.2.2直线与圆（3） • 1.了解切线长的概念。 • 2.理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心 的概念，熟练并能运用它解决实际问题。 • 3.经历探究切线长定理的过程，进一步体会圆的对称性。 学习目标： 复习 1、切线的判定定理 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2、切线的性质归纳 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三 个条件。这三个条件是： (1)过圆心； (2)过切点； (3)垂直于切线。 如图，纸上有一⊙O ，PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO对折，设 圆上与点A重合的点为B。 1、OB是⊙O的一条半径吗？ 2、PB是⊙O的切线吗？ O P A O P A B 经过圆外一点，可以做圆的 条 切线 2 活 动 一 O P A B 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做 这点到圆的切线长。 切线长概念 如右图，线段PA，PB叫做点P到 ⊙O的切线长，对吗？ 想一想：切线和切线长是一回事么？ PP (1)切线是一条与圆相切的直线，不能度量. (2)切线长是一条线段的长，它是一个数量,可以度量. O P A B 注意：切线和切线长是两个不同的概念 概念辨析 如图，纸上有一⊙O ，PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO对折，设 圆上与点A重合的点为B。 利用图形轴对称性解释 3、PA、PB有何关系？ 4、∠APO和∠ BPO有何关系？ O P A O P A B PA=PB ∠APO=∠ BPO 活 动 二 O P A B 推理论证 已知：从⊙O外的一点P引两条切线PA， PB，切点分别是A、B. 求证： AP=BP， ∠OPA=∠OPB O P A B 证明：连接OA，OB ∵PA，PB与⊙O相切， 点A，B是切点 ∴OA⊥PA，OB⊥PB 即 ∠OAP=∠OBP=90° ∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB 切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一 点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 PA、PB分别切⊙O于A、B PA = PB ∠OPA=∠OPB 符号语言: B O P A 归纳：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法 应用新知 1、判断 （1）过一点可以做圆的两条切线（ ） （2）切线长就是切线的长。（ ） × × 2、已知PA、PB与⊙O相切于点A、B，⊙O的半径为2 （1）若四边形OAPB的周长为10，则PA= 。 （2）若∠APB=60°，则PA= _______。 O P A B 3 2 2 30° 4 已知：PA、PB分别与⊙O切于点AB，连接AB交OP于点M，那么OP除 了平分∠APB以外，还有什么作用？请说明理由。 (1)OP垂直平分AB 思考 A PO B M (3)OP平分∠AOB 即 OP⊥AB，AM=BM 即 ∠AOP=∠BOP (2)OP平分 ⌒AB ⌒ AM ⌒ BM即 = 切线长定理为证明线段相等，角相等，弧 相等，垂直关系提供了理论依据。 （3）连结圆心和圆外一点 （2）连结两切点 （1）分别连接圆心和切点 在解决有关圆的切线长问题时，往 往需要我们构建基本图形。 归纳：作辅助线方法 A PO B M 练习：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于 点D、E，交AB于C。 A B PO CE D （1）写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP （2）写出图中所有的全等三角形 △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP （3）写出图中所有的等腰三角形 △ABP △AOB 例：如图，PA、PB分别切⊙ O于A、B，CD与⊙O切于点E，分别 交PA，PB于C、D，已知PA=7cm，求△PCD的周长． C · OP B D A E 例题 C · OP B D A E 证明： ∵PA、DC为⊙O的切线 ∴DA=DE （切线长定理） 同理可证 CE=CB，PA=PB 又∵C△PCD=PD+PC+CD =PD+PC+DE+CE =PA+PB =7+7 =14 cm 课堂小结 1、切线长概念 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做 这点到圆的切线长。 2、切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和 圆心的连线平分两条切线的夹角。 3、切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提 供了理论依据。 4、圆的外切四边形的两组对边的和相等． D L M N A B C OP 练习：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、 DA和圆⊙O分别相切于点L、M、N、P 求证： AD+BC=AB+CD 证明： ∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP 即 AB+CD=AD+BC 补充结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等． D L M N A B C OP ∴AL=AP，LB=MB, NC=MC，DN=DP ∵四边形ABCD的边AB、 BC、CD、DA和圆⊙O 分别相切于点L、M、N、P