第25章:概率
25.3利用频率估计概率
• 1.理解用频率来估计概率的方法。
• 2.会用统计频率来估计事件发生的概率。
学习目标：
同一条件下,在大量重复试验中,如果某随机事件A发生的
频率稳定在某个常数p附近,那么这个常数就叫做事件A的概率.
P(A)= mn
一、知识回顾
问题(两题中任选一题）:
２.掷一次骰子，向上的一面数字是６的概率是＿＿＿＿．
１.某射击运动员射击一次，命中靶心的概率是＿＿＿＿．
命中靶心与未命中靶心发生可能性不相等
试验的结果不是有限个的
１
６
各种结果发生的可能性相等
试验的结果是有限个的等可能事件
材料1：
则估计抛掷一枚硬币正面朝上的概率为________0.5
二、新课讲解
材料2：
则估计油菜籽发芽的概率为__________0.9
某林业部门要考查某种幼树在一定条件下的移植成活率,应
采用什么具体做法?
观察在各次试验中得到的幼树成活的频率，谈谈你的看法．
移植总数（n） 成活数（m）
10 8
成活的频率
0.8
( )
50 47
270 235 0.870
400 369
750 662
1500 1335 0.890
3500 3203 0.915
7000 6335
9000 8073
14000 12628 0.902
0.94
0.923
0.883
0.905
0.897
是实际问题中的一种概率,可理解为成活的概率.估计移植成活率估计移植成活率
由下表可以发现，幼树移植成活的频率在＿＿＿＿左右摆动，
并且随着移植棵数越来越大，这种规律愈加明显.
所以估计幼树移植成活的概率为＿＿＿＿＿．
0.9
0.9
移植总数（n） 成活数（m）
10 8
成活的频率
0.8
( )
50 47
270 235 0.870
400 369
750 662
1500 1335 0.890
3500 3203 0.915
7000 6335
9000 8073
14000 12628 0.902
0.94
0.923
0.883
0.905
0.897
人们在长期的实践中发现,在随机试验中,由于众多微小的偶然因素的影响,每次
测得的结果虽不尽相同,但大量重复试验所得结果却能反应客观规律.这称为大数法则,
亦称大数定律.
由频率可以估计概率是由瑞士数学家雅各布·伯努利（1654－
1705）最早阐明的，因而他被公认为是概率论的先驱之一．
频率稳定性定理
数学史实
由下表可以发现，幼树移植成活的频率在＿＿＿＿左右摆动，
并且随着移植棵数越来越大，这种规律愈加明显.
所以估计幼树移植成活的概率为＿＿＿＿＿．
0.9
0.9
移植总数（n） 成活数（m）
10 8
成活的频率
0.8
( )
50 47
270 235 0.870
400 369
750 662
1500 1335 0.890
3500 3203 0.915
7000 6335
9000 8073
14000 12628 0.902
0.94
0.923
0.883
0.905
0.897
1.林业部门种植了该幼树1000棵,估计能成活_______棵.
2.我们学校需种植这样的树苗500棵来绿化校园,则至少
向林业部门购买约_______棵.
900
556
估计移植成活率
例１：张小明承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果果园，现在有两批幼苗例１：张小明承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果果园，现在有两批幼苗
可以选择，它们的成活率如下两个表格所示：可以选择，它们的成活率如下两个表格所示：
Ａ类树苗：Ａ类树苗： BB类树苗：类树苗：
移植总数（m） 成活数（m） 成活的频率
(m/n)
10 8
50 47
270 235
400 369
750 662
1500 1335
3500 3203
7000 6335
14000 12628
移植总数（m） 成活数（m） 成活的频率(m/n)
10 9
50 49
270 230
400 360
750 641
1500 1275
3500 2996
7000 5985
14000 11914
0.8
0.94
0.870
0.923
0.883
0.890
0.915
0.905
0.902
0.9
0.98
0.85
0.9
0.855
0.850
0.856
0.855
0.851
观察图表,回答问题串
１、从表中可以发现，Ａ类幼树移植成活的频率在１、从表中可以发现，Ａ类幼树移植成活的频率在__________左左
右摆动，并且随着统计数据的增加，这种规律愈加明显，右摆动，并且随着统计数据的增加，这种规律愈加明显，
估计Ａ类幼树移植成活的概率为估计Ａ类幼树移植成活的概率为________，估计Ｂ类幼树移植，估计Ｂ类幼树移植
成活的概率为成活的概率为__________________．．
２、张小明选择Ａ类树苗，还是Ｂ类树苗呢？２、张小明选择Ａ类树苗，还是Ｂ类树苗呢？_____,_____,若他的若他的
荒山需要荒山需要1000010000株树苗，则他实际需要进树苗株树苗，则他实际需要进树苗________________株？株？
33、如果每株树苗、如果每株树苗99元，则小明买树苗共需元，则小明买树苗共需__________________元。 元。
0.9
0.9
0.85
A类
11112
100008
共同练习
51.54500
44.57450
39.24400
35.32350
30.93300
24.25250
19.42200
15.15150
0.10510.5100
0.1105.5050
柑橘损坏的频率（ ）损坏柑橘质量（m）/千克柑橘总质量（n）/千克 n
m
完成下表,
0.101
0.097
0.097
0.103
0.101
0.098
0.099
0.103
某水果公司以2元/千克的成本新进了10 000千克柑橘,如果公司希望这些
柑橘能够获得利润5 000元,那么在出售柑橘(已去掉损坏的柑橘)时,每千克大
约定价为多少元比较合适?
为简单起见，我们能否直接把表中的500千克柑橘对应
的柑橘损坏的频率看作柑橘损坏的概率？
利用你得到的结论解答下列问题:
根据频率稳定性定理，在要求精度不是很高的情况下，不妨用表中的最后一行数据中
的频率近似地代替概率.
共同练习
51.54500
44.57450
39.24400
35.32350
30.93300
24.25250
19.42200
15.15150
0.10510.5100
0.1105.5050
柑橘损坏的频率（ ）损坏柑橘质量（m）/千克柑橘总质量（n）/千克 n
m
0.101
0.097
0.097
0.103
0.101
0.098
0.099
0.103
为简单起见，我们能否直接把表中的500千克柑橘对应
的柑橘损坏的频率看作柑橘损坏的概率？
完成下表, 利用你得到的结论解答下列问题:
试一试
1.一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共1 000尾，一渔民通过多次捕获实验后发
现：鲤鱼、鲫鱼出现的频率是31%和42%，则这个水塘里有鲤鱼_______尾,
鲢鱼_______尾.310
270
2.动物学家通过大量的调查估计出，某种动物活到20岁的概率为0.8，
活到25岁的概率是0.5，活到30岁的概率是0.3.现年20岁的这种动物活
到25岁的概率为多少？现年25岁的这种动物活到30岁的概率为多少？
• 1.在有一个10万人的小镇,
随机调查了2000人,其中
有250人看中央电视台的
早间新闻.在该镇随便问
一个人,他看早间新闻的
概率大约是多少?该镇看
中央电视台早间新闻的大
约是多少人?
概率伴随着我你他
• 解:
• 根据概率的意义,可以认为
其概率大约等于
250/2000=0.125.
• 该镇约有
100000×0.125=12500人看
中央电视台的早间新闻.
例３
2.某厂打算生产一种中学生使用的笔袋，但无法确定各种颜色的产量，于是该文具厂
就笔袋的颜色随机调查了5 000名中学生，并在调查到1 000名、2 000名、3 000名、
4 000名、5 000名时分别计算了各种颜色的频率，绘制折线图如下：
试一试
试一试
(1)随着调查次数的增加，红色的频率如何变化？
(2)你能估计调查到10 000名同学时，红色的频率是多少吗？
随着调查次数的增加，红色的频率基本稳定在40%左右.
(3)若你是该厂的负责人,你将如何安排生产各种颜色的产量？
红、黄、蓝、绿及其它颜色的生产比例大约为4:2:1:1:2 .
从一定的高度落下的图钉，落地后可能图钉尖着地，也可能图
钉尖不找地，估计一下哪种事件的概率更大，与同学合作，通过做
实验来验证一下你事先估计是否正确？
例４
你能估计图钉尖朝上的概率吗？
大家都来做一做
如图,长方形内有一不规则区域,现在玩投掷游戏,如果随机掷中长方形的300
次中，有150次是落在不规则图形内.
【拓展】
你能设计一个利用频率估计概率
的实验方法估算该不规则图形的面
积的方案吗?
(1)你能估计出掷中不规则图形的概率吗？
(2)若该长方形的面积为150平方米,试估计不规则图形的面积.
知识应用
弄清了一种关系——频率与概率的关系
当试验次数很多或试验时样本容量足够大时,一件事件发生的
频率与相应的概率会非常接近.此时,我们可以用一件事件发生的频
率来估计这一事件发生的概率.
升华提高
了解了一种方法——用多次试验频率去估计概率
体会了一种思想：
用样本去估计总体
用频率去估计概率
小红和小明在操场上做游戏，他们先在地上画了半径分别为2m和3m的同
心圆(如图)，蒙上眼在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影小红胜，掷中
里面小圈小明胜，未掷入大圈内不算，你认为游戏公平吗？为什么？
游戏公平吗？
3m
2m
微信/支付宝扫码支付