3.2 解一元一次方程(一)/
3.2 解一元一次方程（一）
——合并同类项与移项
第一课时
第二课时
人教版 数学 七年级 上册
3.2 解一元一次方程(一)/
4
+ =6
― = 3
4a 2a 6
4xy ― xy = 3xy
a a a
你能从生活中观察出什么数学规律吗？
导入新知
3.2 解一元一次方程(一)/
系数相加作为和的系数。
字母部分不变。
导入新知
合并同类项法则
只有同类项才能合并。
3.2 解一元一次方程(一)/
某校三年共购买计算机组140台，去年购买数量是前年的
2倍，今年购买数量又是去年的2倍．前年这个学校购买
了多少台计算机？
设前年这个学校购买了计算机x台，则去年购买计算
机_____台，今年购买计算机_____台，
根据问题中的相等关系 (总量等于各部分量的和) 即：
前年购买量＋去年购买量＋今年购买量＝140台
列得方程 x + 2x +4x = 140
2x 4x
思考：怎样解
这个方程呢？
导入新知
分析：
问题1：
3.2 解一元一次方程(一)/素养目标
1. 会利用合并同类项的方法解一元一次方程，
体会等式变形中的化归思想.
2. 能够从实际问题中列出一元一次方程，进一
步体会方程模型思想的作用及应用价值.
3.2 解一元一次方程(一)/
程大位，明代商人，珠算发明家，历经二十年，于
明万历壬辰年（1592年）写就巨著《算法统宗》.《算法
统综》搜集了古代流传的595道数学难题并记载了解决方
法，堪称中国16—17世纪数学领域集大成的著作.在该书
中，有一道“百羊问题”：
甲赶羊群逐草茂，乙拽一羊随其后，
戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，
若得这般一群凑，于添半群小半群，
得你一只来方凑，玄机奥妙谁猜透．
（注：小半即四分之一）
如何解这个方程呢？
知识点 1 合并同类项解一元一次方程
探究新知
3.2 解一元一次方程(一)/
1.含有相同的_____，并且相同字母的_____也
相同的项，叫做同类项；
2.合并同类项时，把各同类项的_____相加减，
字母和字母的指数_____.
字母 指数
系数
不变
探究新知
温故知新
3.2 解一元一次方程(一)/
用合并同类项进行化简：
1.3x －5x = ________； 2.－3x + 7x = ________；
3.y + 5y－ 2y =________； 4. _______.
－2x 4x
4y － y
探究新知
试一试
3.2 解一元一次方程(一)/
x + 2x + 4x =
140
尝试把一元一次方程转化为 x = m 的形式.
方程的左边出现几个
含x的项，该怎么办
？
它们是同类项，可以
合并成一项！
探究新知
3.2 解一元一次方程(一)/
依据：乘法对加法
的分配律
分析：解方程，就是把方程变
形，化归为 x = m (m为常数)的
形式.
合并同类项
系数化为1 依据：等式性质2
探究新知
3.2 解一元一次方程(一)/
上述解方程中的“合并”起了什么作用
？
解方程中“合并”起了化简作用，把含有未
知数的项合并为一项，从而把方程转化为
ax = b的形式，其中a、b是常数,“合并”的依据是
逆用分配律.
思考
探究新知
3.2 解一元一次方程(一)/
解：合并同类项，得
系数化为1，得
例1 解下列方程：
(1) ；
素养考点 1 利用合并同类项解简单的方程
(2) .
解：合并同类项，得
系数化为1，得
探究新知
3.2 解一元一次方程(一)/
解下列方程：变式训练
解：合并同类项，得
系数化为1，得
解：合并同类项，得
去绝对值，得
系数化为1，得
x=15
x=60
巩固练习
3.2 解一元一次方程(一)/
1. 解下列方程：
(1) 5x－2x = 9； （2） .
解：合并同类项，得
3x=9,
系数化为1，得
x=3.
解：合并同类项，得
2x=7,
系数化为1，得
巩固练习
3.2 解一元一次方程(一)/
例2 有一列数，按一定规律排列成1，-3，9，-27，81，
-243 ··· . 其中某三个相邻数的和是-1701，这三个数各是
多少？
从符号和绝对值两方面观察，可发现这列数的排列规律：
后面的数是它前面的数与-3的乘积.如果三个相邻数中的第1个数记
为x，则后两个数分别是-3x，9x.
提示
素养考点 2 列方程解答实际问题
探究新知
3.2 解一元一次方程(一)/
由三个数的和是-1701，得
合并同类项，得
系数化为1，得
解：设所求的三个数分别是
.
答：这三个数是 -243，729，-2187.
所以
探究新知
3.2 解一元一次方程(一)/
实际问题 一元一次方程设未知数
分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系
列出方程，是解决实际问题的一种数学方法.
用方程解决实际问题的过程
列方程
解方程 作答
归纳总结
探究新知
3.2 解一元一次方程(一)/
解：设这三个数分别是x-1, x, x+1.
根据题意得 (x-1)+x+(x+1)=27
去括号，得 x-1+x+x+1=27
合并同类项得 3x=27
化系数为1得 x=9
x-1=8， x+1=10
答：这三个数分别是8，9，10。
2. 三个连续整数的和等于27，求这三个数.
还有其他设未
知数的方法吗
？
检验
巩固练习
3.2 解一元一次方程(一)/
例3 足球表面是由若干个黑色五边形和白色六边形皮
块围成的，黑、白皮块数目的比为3:5，一个足球表面
一共有32个皮块，黑色皮块和白色皮块
各有多少个？
本题中已知黑、白皮块数目比为3:5，可设黑色皮块有3x
个，则白色皮块有5x个，然后利用相等关系“黑色皮块数＋白色
皮块数＝32”列方程．
提示
探究新知
3.2 解一元一次方程(一)/
解：设黑色皮块有3x个，则白色皮块有5x个.
根据题意列方程 3x + 5x = 32，
解得 x = 4，
则黑色皮块有 3x = 12 (个)，
白色皮块有 5x = 20 (个).
答：黑色皮块有12个，白色皮块有20个．
方法归纳：当题目中出现比例时，一般可通过间接设元，设其中的
每一份为x，然后用含x的代数式表示各数量，根据等量关系，列方
程求解.
探究新知
3.2 解一元一次方程(一)/
3. 请欣赏一首诗：
太阳下山晚霞红，我把鸭子赶回笼；
一半在外闹哄哄，一半的一半进笼中；
剩下十五围着我，请算多少帮我忙。
你能列出方程来解决这个问题吗？
解：设有鸭子x只，
依题意，得
解得 x=60
巩固练习
答：鸭子有60只．
3.2 解一元一次方程(一)/
程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他60岁时完成的《直
指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确
立了算盘用法．书中有如下问题：
一百馒头一百僧，大僧三个更无争，
小僧三人分一个，大小和尚得几丁.
连 接 中 考
巩固练习
3.2 解一元一次方程(一)/
意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，
小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人，
下列求解结果正确的是（ ）
A．大和尚25人，小和尚75人 B．大和尚75人，小和尚25人
C．大和尚50人，小和尚50人 D．大、小和尚各100人
连 接 中 考
A
巩固练习
3.2 解一元一次方程(一)/
1. 下列方程合并同类项正确的是 （ ）
A. 由 3x-x＝-1＋3，得 2x ＝4
B. 由 2x＋x＝-7-4，得 3x ＝-3
C. 由 15-2＝-2x＋ x，得 3＝x
D. 由 6x-2-4x＋2＝0，得 2x＝0
D
基 础 巩 固 题
课堂检测
3.2 解一元一次方程(一)/
3. 某中学七年级（5）班共有学生56人，该班男生的
人数是女生人数的2倍少1人．设该班有女生有x人，
可列方程为_____________. 2x-1+x=56
2. 如果2x与x-3的值互为相反数，那么x等于（ ）
A．-1 B．1 C．-3 D．3
B
课堂检测
基 础 巩 固 题
3.2 解一元一次方程(一)/
解方程:
(1)-3x+0.5x=10. (2)3y-4y=-25-20.
能 力 提 升 题
解：合并同类项得
-2.5x=10,
系数化为1，得
x=-4.
课堂检测
解：合并同类项得
-y=-45,
系数化为1，得
y=45.
3.2 解一元一次方程(一)/
某洗衣厂2016年计划生产洗衣机25500台，其中Ⅰ型、Ⅱ
型、Ⅲ型三种洗衣机的数量之比为1:2:14，这三种洗衣机
计划各生产多少台?
答：计划生产Ⅰ型洗衣机1500台，Ⅱ型洗衣机3000台，Ⅲ型
洗衣机21000台.
解：设计划生产Ⅰ型洗衣机x台，则计划生产Ⅱ型洗衣机2x
台，Ⅲ型洗衣机14x台，依题意，得
x+2x+14x=25500，
解得x=1500, 则2x=3000，14x=21000.
拓 广 探 索 题
课堂检测
3.2 解一元一次方程(一)/
3x+x+5x=180
合并同类项
系数化为1
等式的性质2
理论依据
？
9x=140
x=20
课堂小结
3.2 解一元一次方程(一)/
希腊数学家丢番图（公元3～4世纪）的墓碑上记载着：
根据以上信息，你知道丢番图活了多少岁吗？
“他的生命的六分之一是幸福童年；再活了他生
命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；他结
了婚，又度过了一生的七分之一；再过五年，他
有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他父亲
年龄的一半；儿子死后，他在极悲痛中度过了四
年，也与世长辞了．”
导入新知
3.2 解一元一次方程(一)/素养目标
1. 进一步认识解方程的基本变形——移项，
感悟解方程过程中的转化思想.
2. 会用移项、合并同类项解ax+b=cx+d型的
方程.
3. 能通过分析问题找到相等关系并通过列
方程解决问题.
3.2 解一元一次方程(一)/
1. 解方程：
2. 观察下列一元一次方程，与上题的类型有什
么区别？
【想一想】怎样才能使它向 x=a (a为常数)的形
式转化呢？
知识点 1 利用移项解一元一次方程
探究新知
3.2 解一元一次方程(一)/
把一些图书分给某班同学阅读，如果每人3本，
则剩余20本；若每人4本，则还缺少25本，这个
班的学生有多少人？
分析： 设这个班有x名学生.
这批书共有（3x+20）本.
这批书共有（4x－25）本.
表示同一个量的两个不同的式子相等.
（即：这批书的总数是一个定值）
3x+20=4x－25
盈不足问题
思考：怎样解
这个方程呢？
探究新知
问题2：
3.2 解一元一次方程(一)/
请运用等式的性质解下列方程：
(1) 4x－15 = 9；
解：两边都加15，得
4x-15+15 = 9 +15
合并同类项，得
4x = 24.
系数化为1，得
x = 6.
即 4x = 9 +15.
你有什么发现
？
探究新知
3.2 解一元一次方程(一)/
“-15”这项移动后，
从方程的左边移到了方程的右边.
(1) 4x－15 = 9 ①
4x = 9 +15 ②
-15
观察方程①到方程②的变形过程，说一说有改变的
是哪一项？它有哪些变化？
“-15”这一项
符号由“－”变“＋”
探究新知
3.2 解一元一次方程(一)/
(2) 2x = 5x －21.
解：两边都减5x，得
2x = 5x－21 －5x －5x
2x－5x = －21.
你能说说由方程③到方
程④的变形过程中有什
么变化吗？
合并同类项，得
－3x = －21.
系数化为1，得
x = 7.
(2) 2x = 5x －21 ③
2x－ 5x = －21 ④
5x
探究新知
3.2 解一元一次方程(一)/
一般地，把方程中的某些项改变符号后，从方程
的一边移到另一边，这种变形叫做移项.
注意事项：移项一定要变号.
移项的依据及注意事项
移项实际上是利用等式的性质1.
探究新知
移项的定义
3.2 解一元一次方程(一)/
下列方程的变形，属于移项的是（ ）
A.由 -3x=24得x=-8
B.由 3x+6-2x=8 得 3x-2x+6=8
C.由4x+5=0 得-4x-5=0
D.由2x+1=0得 2x=-1
D
试一试
易错提醒
移项是方程中的某一项
从方程的一边移到另一
边，不要将其与加法的
交换律或等式的性质2弄
混淆.
探究新知
3.2 解一元一次方程(一)/
下列移项正确的是 ( )
A. 由2＋x＝8，得到x＝8＋2
B. 由5x＝－8＋x，得到5x＋x＝ －8
C. 由4x＝2x＋1，得到4x－2x＝1
D. 由5x－3＝0，得到5x＝－3
C 移项一定
要变号.
做一做
探究新知
3.2 解一元一次方程(一)/
例1 解下列方程：
解：移项，得
合并同类项 ，得
系数化为1，得
素养考点 1 利用移项解一元一次方程
移项时需要移哪
些项？为什么？
（1）
探究新知
(2) .
解：移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
3.2 解一元一次方程(一)/
解一元一次方程ax+b=cx+d(a，b，c，d均为常数,且a≠c)的一般步骤：
ax－cx=d－b移项
合并同类项
系数化为1
(a－c)x=d－b
探究新知
归纳总结
3.2 解一元一次方程(一)/
1. 解下列方程：
(1) 5x-7=2x-10; (2) -0.3x+3=9+1.2x.
解：移项，得
5x-2x=-10+7,
合并同类项，得
3x=-3,
系数化为1， 得
x=-1.
解：移项，得
-0.3x-1.2x=9-3,
合并同类项，得
-1.5x=6,
系数化为1，得
x=-4.
巩固练习
3.2 解一元一次方程(一)/
列方程解答实际问题
例2 某制药厂制造一批药品，如果用旧工艺，则废水排量
要比环保限制的最大量还多200 t；如果用新工艺，则废水
排量要比环保限制的最大量少100 t.新旧工艺的废水排量之
比为2:5，两种工艺的废水排量各是多少？
旧工艺废水排量－200吨=新工艺排水量+100吨
素养考点 2
思考：①如何设未知数？
②你能找到等量关系吗？
探究新知
3.2 解一元一次方程(一)/
解：若设新工艺的废水排量为2x t，则旧工艺的
废水排量为5x t.由题意得
移项，得5x-2x=100+200,
系数化为1，得x=100,
合并同类项，得3x=300,
答：新工艺的废水排量为 200 t，旧工艺的废水排量为 500 t.
5x-
200=2x+100,
所以2x=200,5x=500.
探究新知
3.2 解一元一次方程(一)/
我区期末考试一次数学阅卷中，阅B卷第28题（简称B28）的
教师人数是阅A卷第18题（简称A18）教师人数的3倍，在阅
卷过程中，由于情况变化，需要从阅B28题中调12人到A18阅
卷，调动后阅B28剩下的人数比原先阅A18人数的一半还多3
人，求阅B28题和阅A18题的原有教师人数各为多少？
探究新知
变式训练
3.2 解一元一次方程(一)/
等量关系
调动前：阅B28题的教师人数=3×阅A18题的教师人数
调动后:阅B28题的教师人数-12=原阅A18题的教师人数÷2+3
探究新知
3.2 解一元一次方程(一)/
解：设原有教师x人阅A18题，则原有教师3x人阅B28题，
依题意，得
所以 3x=18.
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
答：阅A18题原有教师6人，阅B28题原有教师18人.
探究新知
3.2 解一元一次方程(一)/
2. 下面是两种移动电话计费方式：
方式一 方式二
月租费 50元/月 10元/月
本地通话费 0.30元/分 0.5元/分
问：一个月内，通话时间是多少分钟时，两种移动电
话计费方式的费用一样？
巩固练习
3.2 解一元一次方程(一)/
解：设通话时间t分钟,则按方式一要收费(50+0.3t)元，
按方式二要收费(10＋0.4t). 如果两种移动电话 计费方式的费
用一样，
则 50+0.3t＝ 10＋0.4t.
移项，得 0.3t－ 0.4t =10－50.
合并同类项，得 －0.1t =－40.
系数化为1，得 t =400.
答：一个月内通话400分钟时，两种计费方式的 费用一样.
巩固练习
3.2 解一元一次方程(一)/
列方程解应用题.
《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：
“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问
人数、羊價各幾何？”
题意是：若干人共同出资买羊，每人出5元，则差45元；每
人出7元，则差3元．求人数和羊价各是多少？
连 接 中 考
解：设买羊为x人，则羊价为（5x+45）元，
5x+45=7x+3，
x=21，
5×21+45=150（元），
答：买羊人数为21人，羊价为150元．
巩固练习
3.2 解一元一次方程(一)/
1．下列变形属于移项且正确的是( )
A．由2x－3y＋5＝0，得5－3y＋2x＝0
B．由3x－2＝5x＋1，得3x－5x＝1＋2
C．由2x－5＝7x＋1，得2x＋7x＝1－5
D．由3x－5＝－3x，得－3x－5－3x＝0
B
基 础 巩 固 题
课堂检测
3.2 解一元一次方程(一)/
2. 对方程4x－5＝6x－7－3x进行变形正确的是( )
A．4x＝6x＋5＋7－3x
B．4x－6x＋3x＝5－7
C．4x－6x－3x＝5－7
D．4x－6x＋3x＝－5－7
B
基 础 巩 固 题
课堂检测
3.2 解一元一次方程(一)/
5. 当x =_____时，式子 2x－1 的值比式子 5x+6 的值小1.
3. 已知 2m－3=3n+1，则 2m－3n = .
4. 如果 与 互为相反数，则m的值为 .
4
-2
课堂检测
基 础 巩 固 题
3.2 解一元一次方程(一)/
解下列一元一次方程：
解： (1) x =-2； (2) t =20；
(3) x =-4； (4) x =2.
能 力 提 升 题
课堂检测
3.2 解一元一次方程(一)/
有一些分别标有3，6，9，12…的卡片，后一张卡片上
的数比前一张卡片上的数大3，从中任意拿相邻的三张卡片，
若它们上面的数之和为108，则拿到的是哪三张卡片？
解：设这张卡片中最小的一个数为x，则另两个数分别为x
＋3、x＋6，
依题意列方程，得 x＋x＋3＋x＋6＝108，
解得 x＝33，
所以 x＋3＝36，x＋6＝39.
故这三张卡片上面的数分别是33，36，39.
拓 广 探 索 题
课堂检测
3.2 解一元一次方程(一)/
移
项
解
一
元
一
次
方
程
定
义
步骤
应
用
注意：移项一定要变号
移项
合并同类项
系数化为1
课堂小结
3.2 解一元一次方程(一)/课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
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