“有理数”中数学思想方法大盘点.doc

《有理数》一章中数学思想方法大盘点 数学思想方法是数学基础知识的重要组成部分，教材中没有专门的章节介绍它，而是伴 随着基础知识的学习而展开的.在学习中一定要重视对常用数学思想方法的总结与提炼，它 们是数学的精髓，是解题的指导思想，更能使人受益终身.《有理数》中常用的数学思想方 法有： 一、 数形结合的思想方法 数形结合思想是指将数（量）与（图）形结合起来，分析、研究、解决问题的一种思 想方法，是数学中最常用的方法.我国著名的数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形缺 数时难入微”.数形结合，相得益彰.利用数形结合，可以使所要研究的问题化难为易，化繁 为简.用数轴上的点表示有理数，就是简单的数形结合思想的体现.用数轴上的点表示有理数， 对于理解有理数的绝对值、相反数等概念以及比较有理数的大小等，更具有直观性. 例1 数 a 在数轴上的位置如图 1 所示，试把 a，a 的相反数、a 的倒数和 a 的倒数的 绝对值按从小到大的顺序用“＜”连接起来. 分析：首先在数轴上找到 a 的相反数、a 的倒数和 a 的倒数的绝对值的位置，然后利 用数轴比较它们的大小. 解：因为 a 的相反数是-a，a 的倒数是 ，a 的倒数的绝对值是| |，由图 1 可知： -1＜a＜0，所以 0＜-a＜1， ＜-1，| |＞1.所以 ＜a＜-a＜| |. 二、 分类讨论的思想方法 某些数学问题，涉及到的概念、法则、性质、公式是分类给出的，或在解答过程中， 条件或结论不惟一时，会产生几种可能性，就需要分类讨论，从而得出各种情况下的结论. 这种处理问题的思维方法就是分类讨论思想，其作用是考察学生思维的周密性，使其克服思 维的片面性，防止漏解.在《有理数》一章中研究相反数、绝对值、有理数乘方运算的符号 法则等，都是将有理数分成正数、负数、零三类分别研究的.分类必须遵循下列两条原则： （1）每一次分类要按照同一标准进行；（2）分类要做到不重复、不遗漏.例如，把有理数 分为正数和负数两类就错了，错误原因是漏掉了零. 例 2 比较 3a 和-3a 的大小. 分析：由于题中没有给出 a 的取值范围，故需分三种情况来进行讨论. 解：（1）当 a＞0 时，3a＞0，-3a0，∴3a＞-3a； （2）当 a=0 时，3a =0，-3a =0，∴ 3a =-3a； （3）当 a＜0 时，3a＜0，-3a＞0，∴3a＜-3a. 三、逆向思考的思想方法 本章中的运算法则均以等式的形式出现，对于这些法则，不仅要会正向应用，而且还要 能够逆向运用. 例 3 计算：（-2）2006+（-2）2007=（ ）. 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a A、-24013 B、-2 C、-22006 D、22006 分析：本题乍一看很难下手，但又一想，（-2）2007=（-2）2006+1=（-2）2006×（-2），即 逆用乘方的概念，而（-2）2006+（-2）2006×（-2），再逆用乘法对加法的分配律，即可求解. 解：原式=（-2）2006+ （-2）2006×（-2）=（-2）2006×（1-2）=-（-2）2006，选 C. 四、方程的思想方法 方程思想是指把一个数学问题通过适当的途径转化为方程（组），从而使问题得到解決 的数学思想方法。它在探索解题思路时经常使用，尤其对解決与数量有关的数学问题时行之 有效. 例 4 （浙江省绍兴市中考题）在等式 的两个方格内分别填入一个数， 使这两个数是互为相反数且等式成立.则第一个方格内的数是___________. 分析：设这个数为 x，则它的相反数是-x，代入得：3x-2（-x）＝15，即 3x+2x＝15， 5x＝15，解得 x＝3.因此第一个方格内的数是 3. 五、转化的思想方法 所谓转化思想，就是把所要解决的问题转化为另一个较易解决的问题或已经解决的 问题，具体地说，就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“复 杂”转化为“简单”，把“陌生”转化为“熟悉”.一言以蔽之，数学解题过程的实质就是转 化过程.通过《有理数》一章的学习，我们知道，有理数实质就是比小学学过的数多了一类 数——负数.任何一个非零有理数都是由符号和绝对值两部分构成的，有理数的各种运算都 是先确定符号再计算绝对值.而符号确定以后，绝对值的计算就是小学学过的数的计算.又如， 有理数的减法是转化为有理数的加法来进行计算的，有理数的除法是转化为有理数的乘法来 进行计算的. 例 5 比较 与 的大小. 分析：因为 = =1- ， = =1- ， 所以要比较它们的大小，应转化为比较 和 的大小. 解：用求差法. - =（1- ）-（1- ）= - = - ＞0. ∴ ＞ . 六、实验、观察、猜想、论证的思想方法 实验、观察、猜想、论证是解決数学问题的重要思想方法。实验是基础，在实验中要 注意分析和观察规律；观察是关键，在观察中要透过现象看本质，从特殊中找出一般；猜想 是核心，会推理判断，能归纳猜想，就能有所发现；论证是结果，是对实验、观察、猜想的 科学总结. 3 2 15× − × = 222221 222223 333331 333334 222221 222223 222223 2 222223 − 2 222223 333331 333334 333334 3 333334 − 3 333334 2 222223 3 333334 222221 222223 333331 333334 2 222223 3 333334 3 333334 2 222223 6 666668 6 666669 222221 222223 333331 333334 例 6 （江苏省泰州市中考题） 如图 2，每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点 阵 ， 根 据 图 中 提 供 的 信 息 ， 用 含 的 等 式 表 示 第 个 正 方 形 点 阵 中 的 规 律 ． 分析：通过仔细观察分析，寻找规律，充分体现了不完全归纳法在找规律题中的应用. 从多角度思考，可得到如下多种解法（到高中阶段你就可以对结论进行证明）： 方法 1：（递推法）0+1=12，（0+1）+（1+2）=22，（0+1+2）+（1+2+3）=32，（0+1+2+3） +（1+2+3+4）=42，…[0+1+2+…（n-1）]+（1+2+3+…+n）=n2. 方法 2：（拆数法）1=12，1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，…1+3+5+…（2n-1）=n2. 方法 3：（拼图法）将线下 n 个点拿去，移动后可拼成一个矩形，其宽有（n-1）个点， 长为 n 个点，因此共有 n+n（n-1）=n2 个点. 方法 4：（相加法）第 n 个正方形直线上方点的总数为 1+2+3+…+n-1= ，直线 下方点的总数为 1+2+3+…+n= ，故第 n 个正方形点阵中总点数为 + ，即 n2.因此规律为 + = n2. 说明：这是一道设计新颖、具有一定挑战性的问题.其解题思路比较宽，解法较多，但 阅卷中发现，许多学生对这类探索题感到比较棘手，得分率较低.希望你再去研究本题的其 他解法，与你的同伴交流. n n 2 )1( −nn 2 )1( +nn 2 )1( −nn 2 )1( +nn 2 )1( −nn 2 )1( +nn