猜想、证明与拓广.ppt

综合与实践 猜 想、证 明 与 拓 广提出问题，猜想探究 问题1、当任意给定一个正方形时，是否存 在另一个正方形，它的周长与面积分别是 已知正方形的2倍？解：设给定的正方形的边长为a，则其周长为 4a,面积为a2,周长扩大两倍后为8a,则其边长 应为 2a,此时面积应为 4a2，它不是已知给定 的正方形的面积的2倍.所以不存在这样的正方 形。或是先考虑面积扩大为原来的两倍为2a2 ，则边长应为 a ，此时周长应为4 a ， 不是4a的两倍， 提出问题，猜想探究 2a 周长变大为周长变大为22 倍倍 面积变大为面积变大为 22倍倍 2 a a由于任意两个正方形都是相似的，周长比等于 相似比，面积比等于相似比的平方. 所以周长 比和面积比不可能同时为2 . 结论：不存在这样的正方形，它的周长与面积 分别是已知正方形的2倍。 a 周长变大为2倍 面积变大为2倍 提出问题，猜想探究问题2、当任意给定一个矩形时，是否存在另 一个矩形，它的周长与面积分别是已知矩 形周长与面积的2倍？ 提出问题，猜想探究 周长×2 面积×2如果已知矩形的长和宽分 别为2和1,3和1，4和1,5和 1呢？结论会怎样呢?你是 怎么做的?和同伴交流. 活动说明： 1、以四人小组为单位进行 探究活动。 2、每小组选一种情况进行 说明。 3、整理写出解答过程。 探究活动：拓展思维，证明猜想。 解：设定矩形的长为n，宽为m，则周 长是2(n+m),面积是mn，有另一个矩 形的周长与面积是原矩形的2倍，则 周长应为4(n+m),面积为2mn. 得方程x[2(n+m)-x]=2mn 解得： 当已知矩形的长和宽分别为n和m时， 是否仍然有相同的结论？ 结论 • 任意给定一个矩形，必然存在另一个矩 形，它的周长和面积是已知矩形周长和 面积的2倍。问题（3），任意给定一个矩形，是否一定存 在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知 矩形周长和面积的一半？ 问题拓广，自主探究。 周长× 面积×小明的结论 • 小明认为这个结论是正确的，理由是：既 然任意给定一个矩形，它的周长和面积是 已知矩形周长和面积的2倍，也就是任何一 个矩形的周长和面积可以同时“加倍”， 那么，原矩形自然满足新矩形的“减半” 要求，即原矩形的周长和面积分别是新矩 形周长和面积的一半。 • 你同意小明的观点吗？如果已知矩形的长和宽分 别为2和1,3和1，4和1,5和 1呢？结论会怎样呢?你是 怎么做的?和同伴交流. 活动说明： 1、以四人小组为单位进行 探究活动。 2、每小组选一种情况进行 说明。 3、整理写出解答过程。 探究活动： 当矩形满足什么条件，才存在一 个新的矩形，它的周长和面积分别是 已知矩形的周长和面积的一半？ 问题拓广，自主探究 分析：设所求矩形的长为x，列方程为 问题拓广，自主探究 总结反思，方法提炼 （2）本节课学习的数学方法:猜想、证明、 拓广、感受由特殊到一般，数形结合的思 想方法，体会证明的必要性. （1）本节课的问题解决综合运用了所 学知识,体会知识之间的内在联系.总结反思，方法提炼 （3）一个几何存在性问题，可以转化为方 程是否有解的问题，两种列方程的思路源 于优先“固定”所求矩形的周长或优先“ 固定”所求矩形的面积，同时也让学生感 受到对同一个问题存在不同的解决方法， 有助于开阔学生的思维.布置作业，巩固所学 1、181页1,2,3. 2、写篇小论文，把课题学习探索的过程 和探索得到的结果及你的感受体验整 理成数学小论文。