第2课时
分 析 法
主题：分析法
【自主认知】
证明不等式： 成立，可用下面的方法进行.
证明：要证明
由于
只需证明
展开得 只需证明6c，且
a+b+c=0，求证 则证明的依据应是( )
A.a-b>0
B.a-c>0
C.(a-b)(a-c)>0
D.(a-b)(a-c)0，b>0，
所以a-b与 符号相同，
不等式(a-b)( )≥0成立，所以原不等式成立.
【规律总结】分析法证明不等式的依据、方法与技巧
(1)解题依据：分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知
的重要不等式和逻辑推理的基本理论.
(2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明，经常
用综合法.而对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明，常用分
析法.
(3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发，逐
步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的
不等式.
(4)应用技巧：用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”、
“只需证”、“即证”等词语.
【巩固训练】当a≥2时，求证
【证明】要证
只需证
只需证
只需证
只需证
只需证(a+1)(a-2)0，即a，b要满足的条件为a>b>0.
类型二：分析法证明其他问题
【典例2】求证：以过抛物线y2=2px(p>0)焦点的弦为直径的圆必与
直线x= 相切.
【解题指南】
【证明】如图所示，过点A，B分别作AA′，BB′垂直准线于点A′，
B′，
取AB的中点M，作MM′垂直准线于点M′，
要证明以AB为直径的圆与准线相切，
只需证|MM′|= |AB|.
由抛物线的定义有|AA′|=|AF|，
|BB′|=|BF|，
所以|AB|=|AA′|+|BB′|，
因此只需证|MM′|= (|AA′|+|BB′|).
根据梯形的中位线原理可知上式是成立的，所以以过抛物线y2=2px
焦点的弦为直径的圆必与直线x= 相切.
【规律总结】分析法证明问题的两个关键点
(1)利用分析法证明时，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些
词语必不可少，否则会出现错误.
(2)逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结
论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解.
【巩固训练】如图所示，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A作SB的垂线，垂
足为E，过E作SC的垂线，垂足为F，求证：AF⊥SC.
【证明】要证AF⊥SC，只需证SC⊥平面AEF，
只需证AE⊥SC(因为EF⊥SC).
只需证AE⊥平面SBC，
只需证AE⊥BC(因为AE⊥SB)，
只需证BC⊥平面SAB，
只需证BC⊥SA(因为AB⊥BC)，
由SA⊥平面ABC可知，BC⊥SA成立.
所以AF⊥SC.
【补偿训练】若函数f(x+1)与f(x)的图象关于y轴对称，求证：
为偶函数.
【证明】记F(x)=
欲证F(x)为偶函数，只需证F(-x)=F(x)，
即证
由已知，函数f(x+1)与f(x)的图象关于y轴对称，
而函数f(x)与f(-x)的图象也是关于y轴对称的，
所以f(-x)=f(x+1).
于是有
所以 为偶函数.
类型三：综合法与分析法的综合应用
【典例3】已知a，b，c表示△ABC的三边长，m>0，求证：
【解题指南】根据在△ABC中任意两边之和大于第三边，再利用
分析法与综合法结合证明不等式成立.
【证明】要证明
只需证明 即可，
所以
因为a>0，b>0，c>0，m>0，所以(a+m)(b+m)(c+m)>0.
因为a(b+m)(c+m)+b(a+m)(c+m)-c(a+m)(b+m)
=abc+abm+acm+am2+abc+abm+bcm+bm2-abc-bcm-acm-cm2
=2abm+am2+abc+bm2-cm2
=2abm+abc+(a+b-c)m2.
因为△ABC中任意两边之和大于第三边，
所以a+b-c>0，
所以(a+b-c)m2>0，
所以2abm+abc+(a+b-c)m2>0，
所以
【延伸探究】
1.(变换条件)本例增加条件“三个内角A，B，C成等差数列”求证：
【证明】要证 即证
即证
即证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c)，即证c2+a2=ac+b2.
因为△ABC三个内角A，B，C成等差数列，所以B=60°.
由余弦定理，有b2=c2+a2-2cacos60°，
即b2=c2+a2-ac.
所以c2+a2=ac+b2成立，即命题得证.
2.(改变问法)证明：
【证明】要证 只需证a+b+(a+b)c>(1+a+b)c.
即证a+b>c.而a+b>c.显然成立.所以
【规律总结】综合法、分析法的应用
(1)综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手易于寻找解题思
路.
(2)在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分
析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中
间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P
可推出Q，即可得证.
(3)在实际解决问题中，先分析由条件能产生什么结论，再分析要产
生需要的结论需要什么条件，逐步探求两者之间的联系，寻找解答突
破口，确定解题步骤，然后用综合法写出解题的过程.
【巩固训练】设a，b，c均为大于1的正数，且ab=10.求证：
logac+logbc≥4lg c.
【证明】由于a>1，b>1，故要证明logac+logbc≥4lg c，
只要证明 ≥4lg c，
又c>1，故lg c>0，
所以只需证明 ≥4，即 ≥4，
因为ab=10，故lg a+lg b=1.
只需证明 ≥4，(*)
由于a>1，b>1，故lg a>0，lg b>0，
所以00，所以-8ab(a-b)2
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