2.2.2
反 证 法
主题：反证法
【自主认知】
1.鲁迅先生在论证“作文没有秘诀”时叙述：如果作文有秘诀，则就有
许多祖传作家，由于不存在许多祖传作家，所以，作文没有秘诀.鲁
迅先生运用的是数学中的哪种思想？
提示：运用的是反证法的思想.
2.用反证法证明命题“若p，则q”的第一步是什么？
提示：第一步是否定结论，即若p，则 q.
➡根据以上探究过程，试着写出反证法的定义及反证法常见的矛盾类
型：
1.反证法的定义
假设原命题_______(即在原命题的条件下，_____不成立)，经过正
确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了_______
成立，这样的证明方法叫做反证法.
不成立 结论
原命题
2.反证法常见的矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与_____
_____矛盾，或与_____矛盾，或与_____、_____、_____、_____矛盾
等.
已知
条件 假设 定义 定理 公理 事实
【合作探究】
1.我们常说“否定之否定即为肯定”你能说明反证法中的否定之否定的
两个否定分别是指什么吗？
提示：第一个否定是指“否定结论”即假设，第二个否定是指“逻辑
推理结果否定了假设”.
2.反证法原理与利用等价命题即互为逆否命题的证明思路有关吗？
提示：有关，反证法的原理为“互为逆否命题的两个命题真假一
致”，即：“P⇒Q”⇔“ Q⇒ P”.
【过关小练】
1.应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列 作为条件
使用.
①结论相反判断，即假设；②原命题的条件；
③公理、定理、定义等；④原结论.
【解析】根据反证法的定义及特点知，推导过程可以把结论相反判断，
即假设，原命题的条件及公理、定理、定义等作为条件使用，而不能
把原命题的结论作为条件使用，故①②③正确，④不正确.
答案：①②③
2.两直线a与b异面的否定为 .
【解析】两直线a与b的位置关系共有a与b异面、相交、平行，故a与b
异面的否定为a与b相交或平行.
答案：a与b相交或平行
【归纳总结】
1.用反证法反设的三个关注点
(1)正确分清题设和结论.
(2)对结论实施正确否定.
(3)对结论否定后，找出其所有情况.
2.反证法证明的常见问题
反证法可以证明的命题的范围非常广泛，一般常见的有：唯一性问题，
无限性问题，肯定性问题，否定性问题，存在性问题，不等式问题，
等式问题，函数问题，整除问题，几何问题等.
3.反证法常用结论的反设词
结论
词 = > < 是 都是 至多一 个 至少一个 任 意 至少 n个 至多 n个 反设 词 ≠ ≤ ≥ 不 是 不都 是 至少两 个 一个也没 有 某 个 至多 n-1 个 至少 n+1 个
类型一：用反证法证明否定性问题
【典例1】(2015·邯郸高二检测)等差数列{an}的前n项和为Sn，
a1=1+ ，S3=9+3 .
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn.
(2)设bn= (n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成
为等比数列.
【解题指南】第(1)问考查等差数列的通项公式与前n项和公式，
应用an=a1+(n-1)d和Sn=na1+ n(n-1)d两式求解.第(2)问先假设任三
项bp，bq，br成等比数列，再用反证法证明.
【解析】(1)设公差为d，由已知得
所以d=2，故an=2n-1+ ，Sn=n(n+ ).
(2)由(1)得bn=
假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数
列，则
即(q+ )2=(p+ )(r+ )，
所以(q2-pr)+(2q-p-r) =0.
因为p，q，r∈N*，
所以
所以 =pr，(p-r)2=0，
所以p=r，这与p≠r矛盾.
所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.
【规律总结】
1.用反证法证明的三个基本步骤
(1)反设：假设原命题的结论不成立.
(2)归谬：从假设出发，经过推理论证得到矛盾.
(3)下结论：矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立.
2.使用反证法的注意点
(1)用反证法证明问题的第一步是“假设”，这一步要准确，否则后
面的证明毫无意义.
(2)反证法的“归谬”要合理.
3.反证法的适用范围
(1)否定性命题.
(2)命题的结论中出现“至少”“至多”“唯一”等词语的.
(3)当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易
说明的.
(4)要讨论的情况多或者复杂，而反面情况少或者简单的.
(5)问题共有n种情况，现要证明其中有一种情况成立时，可以想到用
反证法把其他的(n-1)种情况都排除，从而肯定这种情况成立.
【巩固训练】(2015·临沂高二检测)已知f(x)=ax+ (a>1)，证明
方程f(x)=0没有负数根.
【证明】假设x0是f(x)=0的负数根，
则x0
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