高中数学人教版选修1-2同课异构教学课件：3.1.1 数系的扩充和复数的概念 精讲优练课型.ppt

第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.1 数系的扩充和复数的概念 【自主预习】 1.复数的有关概念 (1)复数 ①定义:形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做 _________,满足i2= ___,a叫做复数的_____,b叫做复 数的_____.虚数单位 -1 实部 虚部 ②表示方法:复数通常用______表示,即___________ _____,这一表示形式叫做复数的代数形式. 字母z z=a+bi(a,b ∈R) (2)复数集 ①定义:_________所成的集合叫做复数集. ②表示:通常用大写字母C表示. 全体复数 2.复数的分类 (1)对于复数z=a+bi(a,b∈R)而言, ①z为实数⇔b=0, ②z为虚数⇔b≠0, ③z为纯虚数⇔ (2)集合表示: 3.复数相等的充要条件 设a,b,c,d都是实数,那么a+bi=c+di⇔_________. a=c且b=d 【即时小测】 1. i-1的实部和虚部分别是 (  ) A. ,-1 B.-1, C.1, D. ,1 【解析】选B. i-1=-1+ i=a+bi, 所以实部a=-1,虚部b= . 2.3i2+7i的实部为________,虚部为________. 【解析】因为3i2+7i=-3+7i,所以实部为-3,虚部为7. 答案:-3 7 3.如果复数z=(a2-1)+(a-1)i为纯虚数,则a的值等于 ________. 【解析】由题意知 解得a=-1. 答案:-1 4.若x,y为实数且满足(2x-y)i+(x-y)=3+2i,则 x=________,y=________. 【解析】由题意知 解得 答案:-1 -4 【知识探究】 探究点1 复数的有关概念 1.复数a+bi的实部是a,虚部是b吗? 提示:不一定,只有当a,b∈R时,a才是实部,b才是虚部. 2.i可以与任何实数作任何运算吗? 提示:不可以.i既然与实数之间建立了四则运算关系, 运算与实数一致,由于在实数运算中0不能作除数,故i 不可以除以任何实数. 【归纳总结】 1.数系扩充的脉络 自然数系→整数系→有理数系→实数系→复数系. 2.虚数单位i性质的两个关注点 (1)i2=-1的理解:并没有规定i=± 还是i= 或 i=- . (2)i与实数之间可以进行四则运算:这条性质是数系扩 充的原则之一,这里只提到加、乘运算,没提到减、除 运算,并不是对减法与除法不成立,而是为了与后面讲 复数的四则运算时,只对加法、乘法法则作出规定,而 把减法、除法作为加法、乘法的逆运算的做法相一致. 特别提醒:数系扩充后在复数的代数形式a+bi的表示中 注意a,b∈R这一条件. 探究点2 复数的分类 1.a=0是z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的什么条件? 提示:当a=0,b=0时z=0∈R;a=0,b≠0时,z为纯虚数,所 以a=0是z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的必要不充分条件. 2.若z1,z2∈R, z1 2+ z2 2=0,则z1=z2=0,此命题对z1,z2∈C 还成立吗? 提示:不一定成立.比如z1=1,z2=i满足z1 2+ z2 2=0,但 z1≠0,z2≠0. 【归纳总结】 1.复数分类的依据 复数分类的依据是虚数单位i,若含有i则为虚数,不含 有i则为实数;对于虚数,若实部为零,则又称其为纯虚 数. 2.两个复数相等的充要条件 (1)在两个复数相等的充要条件中,注意前提条件是 a,b,c,d∈R,即当a,b,c,d∈R时,a+bi=c+di⇔a=c且 b=d.若忽略前提条件,则结论不能成立. (2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来,达到“化 虚为实”的目的,从而将复数问题转化为实数问题来求 解. 易错警示:两个复数不一定能比较大小,当两个复数都 是实数时,可以比较大小;两个虚数、或一个虚数与一 个实数不能比较大小,即两个复数除去都是实数外,没 有大小关系. 类型一 复数的概念 【典例】1.给出下列三个命题:①若z∈C,则z2≥0; ②2i-1虚部是2i;③2i的实部是0.其中真命题的个数 为 (  ) A.0 B.1 C.2 D.3 2.(2016·启东高二检测)已知复数z=a2-(2-b)i的实部 和虚部分别是2和3,则实数a,b的值分别是________. 3.判断下列命题的真假. (1)若x,y∈C,则x+yi=1+2i的充要条件是x=1,y=2. (2)若实数a与ai对应,则实数集与纯虚数集一一对应. (3)实数集的补集是虚数集. 【解题探究】1.典例1中虚数的平方是否大于等于0?复 数中的虚部是否一定为实数? 提示:虚数的平方不一定大于等于0,复数中的虚部一定 为实数. 2.典例2中复数z=a2-(2-b)i的实部与虚部分别是什么? 提示:实部为a2,虚部为-(2-b). 3.典例3(1)中数x,y是否一定为实数? 提示:(1)中数x,y不一定为实数,也可能是虚数. 【解析】1.选B.对于①,当z∈R时,z2≥0成立,否则不 成立,如z=i,z2=-1b,则a+i>b+i; ③若x2+y2=0,则x=y=0; ④两个虚数不能比较大小. 其中,正确命题的个数是 (  ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选B.对于①,因为i2=-1,所以1+i2=0,故①正确. 对于②,两个虚数不能比较大小,故②错. 对于③,当x=1,y=i时,x2+y2=0成立,故③错. ④正确. 【补偿训练】判断下列命题的真假. (1)复数a+bi不是实数. (2)(a+bi)2≥0. (3)复数z=3+bi>0(b∈R),则b=0. 【解析】根据复数的有关概念判断命题的真假. (1)是假命题,因为当a∈R且b=0时,a+bi是实数. (2)假命题,当b≠0时,(a+bi)2是虚数,与零不能比较大 小. (3)只有实数才可以比较大小,既然有3+bi>0,则说明 z=3+bi为实数,故b=0,(3)是真命题. 类型二 复数的分类 【典例】(2016·青岛高二检测)当实数m为何值时,复 数z= +(m2-2m)i为(1)虚数.(2)纯虚数. 【解题探究】复数z=a+bi(a,b∈R),在什么条件下z为 虚数?在什么条件下为纯虚数? 提示:当b≠0时z为虚数,当a=0,b≠0时z为纯虚数. 【解析】(1)要使z为虚数,则m必须满足m2-2m≠0,且 m≠0, 即m≠0且m≠2,所以当m≠0且m≠2时复数z是虚数. (2)要使z为纯虚数, 则m必须满足 解得m=-3, 即当m=-3时,复数z是纯虚数. 【延伸探究】 1.条件不变,当m为何值时z为实数? 【解析】要使z为实数,则m必须满足 解得m=2, 即当m=2时,复数z是实数. 【解析】(1)当z为虚数时,a的取值满足 所以a≠±1且a≠6. 2.将复数改为 求相应的问题. (2)当z为纯虚数时,a的取值满足 所以 所以不存在实数a使z为纯虚数. 【方法技巧】解决复数分类问题的方法与步骤 (1)化标准式:解题时一定要先看复数是否为 a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部. (2)定条件:复数的分类问题可以转化为复数的实部与 虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式, 列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可. (3)下结论:设所给复数为z=a+bi(a,b∈R), ①z为实数⇔b=0; ②z为虚数⇔b≠0;③z为纯虚数⇔a=0且b≠0. 【拓展延伸】复数分类的应用 (1)参数自身:判断一个含有参数的复数在什么情况下 是实数、虚数、纯虚数,首先要保证参数值使表达式有 意义,其次对参数值的取舍,是取“并”还是“交”,非常关 键,解答后进行验算是很必要的. (2)整体与局部:对于复数z=a+bi(a,b∈R),既要从整体 的角度去认识它,把复数z看成一个整体,又要从实部与 虚部的角度分解成两部分去认识它.这是解决复数问题 的重要思路之一. 【补偿训练】实数m取什么值时,复数z=(m2-3m+2)+ (m2-4)i是: (1)实数.(2)虚数.(3)纯虚数. 【解析】(1)要使z为实数,必须有m2-4=0,得m=-2或 m=2,即当m=-2或m=2时,z为实数. (2)要使z为虚数,必须有m2-4≠0,即m≠-2且m≠2,故当 m≠-2且m≠2时,z为虚数. (3)要使z为纯虚数,必须有 所以 所以m=1,所以当m=1时,z为纯虚数. 类型三 复数相等 【典例】1.已知x,y均是实数,且满足(2x-1)+i=-y- (3-y)i,则x=________,y=________. 2.已知集合M={(a+3)+(b2-1)i,8},集合N={3i,(a2- 1)+(b+2)i},同时满足M∩N M,M∩N≠ ,求整数a,b. 【解题探究】1.复数(2x-1)+i的实部与虚部分别是多 少?复数-y-(3-y)i的实部与虚部分别是多少? 提示:复数(2x-1)+i的实部为2x-1,虚部为1;复数-y-(3 -y)i的实部为-y,虚部为-(3-y). 2.由条件M∩N M,M∩N≠∅能得到的结论是什么? 提示:M∩N M知两个集合M,N不能相等.由M∩N≠∅能 得到两个集合M,N中有公共元素. 【解析】1.由复数相等的充要条件得 解得 答案:-  4 2.由条件M∩N M,M∩N≠∅, 得(a+3)+(b2-1)i=3i;① 或8=(a2-1)+(b+2)i.② 或(a+3)+(b2-1)i=(a2-1)+(b+2)i.③ 由①得a=-3,b=±2, 当a=-3,b=2时,M={3i,8},N={3i,8+4i}满足题意. 经检验,a=-3,b=-2不合题意,舍去. 由②得b=-2,a=-3或b=-2,a=3, 当b=-2,a=-3时不合题意,舍去. 当b=-2,a=3时,M={6+3i,8},N={3i,8}满足题意. 由③得 得a,b不是整数舍去. 故a=-3,b=2或a=3,b=-2. 【方法技巧】化复为实转化求解 应用两个复数相等的充要条件时,首先要把“=”左右两 侧的复数写成代数形式,即分离出实部与虚部,然后确 定两个独立参数方程,化复数问题为实数问题. 【变式训练】已知x,y∈R,(x+2y-1)+(x-3y+4)i=10- 5i,求x,y. 【解析】因为x,y∈R,所以x+2y-1,x-3y+4是实数,所以 由复数相等的条件得 解得 所以x=3,y=4. 【补偿训练】已知P={-1,1,4i},M={1,(m2-2m)+(m2+m- 2)i}.若M∪P=P,求实数m的值. 【解析】因为M∪P=P,所以M⊆P, 即(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i. 由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1得m2-2m=-1,m2+m-2=0,解得 m=1. 由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-4i得m2-2m=0,m2+m-2=4,解得 m=2. 综上可知,m=1或m=2. 自我纠错 复数概念的理解 【典例】在下列命题中,正确命题的个数是 ( ) (1)两个复数不能比较大小. (2)若z1和z2都是虚数,且它们的虚部相等,则z1=z2. (3)若a,b是两个相等的实数,则(a-b)+(a+b)i必为纯虚数. A.0 B.1 C.2 D.3 【失误案例】 分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案. 提示:错误的根本原因是对基本概念的理解不到位,实 际上两个复数相等的条件是实部和虚部分别相等,一个 复数为纯虚数的条件是实部为零虚部不为零,两个复数 都为实数时可以比较大小.正确的解答过程如下: 【解析】选A.两个复数,当它们都是实数时,是可以比 较大小的,故(1)是错误的; 设z1=a+bi(a,b∈R,b≠0),z2=c+di(c,d∈R,且d≠0),因 为b=d,所以z2=c+bi.当a=c时,z1=z2,当a≠c时,z1≠z2, 故(2)是错误的; (3)当a=b≠0时,(a-b)+(a+b)i是纯虚数,当a=b=0时,(a -b)+(a+b)i=0是实数,故(3)错误.