1.1.3 四种命题间的相互关系1.认识四种命题间的相互关系及真假关系.
2.会利用命题真假的等价性解决简单问题.1.本节的重点是四种命题间的相互关系.
2.本节的难点是利用命题真假的等价性解决简单问题.1.四种命题的相互关系
原命题
若p,则q
否命题
若﹁p,则﹁q
逆命题
若q,则p
逆否命题
若﹁ q,则﹁p
互逆
互逆
互
否
互
否
互 为
逆 否
互 为
逆 否2.四种命题的真假性
(1)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性的关系是:
_________.
(2)①原命题与它的逆否命题真假性的关系是:有_______真假
性;
②逆命题与否命题真假性的关系是:有_______真假性.
综上，互为逆否命题具有相同的_______.
没有关系
相同的
相同的
真假性1.在四种命题中，只有命题“若p，则q”和“若 p，则 q”
是互否命题吗？
提示：不是，如命题“若q，则p”和“若 q，则 p”也是互
否命题.2.互逆命题的真假性一定不等价吗？
提示:不一定，如命题“若一条直线垂直于一个平面内的任意
一条直线，则这条直线就垂直于这个平面”就和它的逆命题同
真.3.命题“若函数f(x)=ax+b，则函数是一次函数”以及它的逆
命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为_____.
【解析】因为命题“若函数f(x)=ax+b，则函数是一次函数”
是假命题，则其逆否命题也为假命题.其逆命题“若函数是一
次函数，则函数解析式为f(x)=ax+b”是真命题，则它的逆否
命题(即原命题的否命题)也为真，所以真命题的个数为2.
答案：21.对四种命题间结构关系的认识
“互逆命题”“互否命题”“互为逆否命题”反映的是两个命
题之间的相对关系，不具有特指性，即四种命题中的任意两个
命题之间一定具有这三种关系中的一种，且唯一.2.对四种命题间真假关系的认识
(1)当两个命题是互逆命题或者是互否命题时，这两个命题的
真假是没有关系的，即它们之间可能同真、同假、一真一假.
(2)当两个命题是互为逆否命题时，这两个命题的真假是等价
的，即两者之间要么同真，要么同假，两者必居其一. 判断两个命题间的结构关系
【技法点拨】
判断两个命题间的结构关系的方法
这类问题的解决方法是判断两个命题的条件和结论之间的关系.
若“只换位不换质”，则两者之间就是“互逆命题”；若“只
换质不换位”，则两者之间就是“互否命题”；若“既换位又
换质”，则两者之间就是“互为逆否命题”.【典例训练】
1.与命题“在等差数列{an}中，若m+n=p+q,则am+an=ap+aq”为
互逆命题的是( )
(A)在等差数列{an}中，若m+n≠p+q,则am+an≠ap+aq
(B)在等差数列{an}中，若am+an=ap+aq,则m+n=p+q
(C)在等差数列{an}中，若am+an≠ap+aq,则m+n≠p+q
(D)在等差数列{an}中，若m+n≠p+q,则am+an=ap+aq2.与命题“已知点A，直线l0，l，A∈l0,若l0∥l，则l0唯一”为
互否命题的是( )
(A)已知点A，直线l0，l,A∈l0,若l0唯一，则l0∥l
(B)已知点A，直线l0，l,A∈l0,若l0不唯一，则l0∥l
(C)已知点A，直线l0，l,A∈l0,若l0不平行于l，则l0不唯一
(D)已知点A，直线l0，l,A∈l0,若l0∥l，则l0不唯一3.(2012·湖南高考)命题“若α= ,则tanα=1”的逆否命
题是( )
(A)若α≠ ,则tanα≠1
(B)若α= ,则tanα≠1
(C)若tanα≠1,则α≠
(D)若tanα≠1,则α=【解析】1.选B.根据互逆命题的概念知原命题的条件及结论分别
是逆命题的结论及条件，所以与之互逆的命题为“在等差数列
{an}中,若am+an=ap+aq,则m+n=p+q”.
2.选C.根据互否命题的概念知原命题条件的否定和结论的否定分
别是否命题的条件和结论，所以与之互否的命题为“已知点A，
直线l0，l,A∈l0，若l0不平行于l，则l0不唯一”.
3.选C.原命题的逆否命题是“若tanα≠1,则α≠ ”，故选C.【思考】第1题的逆命题是真命题吗？
由它的真假性，你会得到怎样的启示呢？
提示：第1题的逆命题是假命题.例如常数列1,1，….由它得到
的启示是:在将一个命题的逆命题作为结论使用时，一定要先
对其真假性作出判断，然后再决定是否可以使用.【变式训练】
1.与命题“在等比数列{an}中，若m+n=p+q,则am·an=ap·aq”
为互逆命题的是( )
(A)在等比数列{an}中，若am·an=ap·aq,则m+n=p+q
(B)在等比数列{an}中，若am·an=ap·aq,则m+n≠p+q
(C)在等比数列{an}中，若m+n≠p+q,则am·an=ap·aq
(D)在等比数列{an}中，若am·an≠ap·aq,则m+n≠p+q【解析】选A.根据互逆命题的概念知原命题的条件及结论分别
是逆命题的结论及条件，所以与之互逆的命题为“在等比数列
{an}中，若am·an=ap·aq,则m+n=p+q”.2.与命题“已知x1∈R,x2∈R且x1f
(x1)”互为逆否命题的是( )
(A)已知x1∈R,x2∈R且x1f(x1)
(B)已知x1∈R,x2∈R且x1|y|”的逆命题
(B)命题“若x>1，则x2>1”的逆命题
(C)命题“若x=1，则x2+x-2=0”的否命题
(D)命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题2.下列命题：
(1)“全等三角形的面积相等”的逆命题；
(2)“若ab＝0，则a＝0”的否命题；
(3)“正三角形的三个内角均为60°”的逆否命题，
其中真命题的序号是_____(把所有真命题的序号填在横线上)
．【解析】1.选A.因为选项A：x>|y|，所以x>0.当y≥0时，x>y
；当y-y>y,所以x>y.命题“若x>y，则x>|y|”的逆命
题是真命题；选项B：逆命题为“若x2>1，则x>1”，是假命题.
因为x2>1，所以x1；选项C：它的否命题是“若x≠1，
则x2+x-2≠0”.因为x≠1时,x2+x-2可以为0，所以是假命题；
选项D：因为原命题是假命题，所以它的逆否命题也是假命题.2.(1)“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三
角形全等”，显然该命题为假命题；
(2)“若ab＝0，则a＝0”的否命题为“若ab≠0，则a≠0”.而
由ab≠0可得a，b都不为零，故a≠0，所以该命题是真命题；
(3)由于原命题“正三角形的三个内角均为60°”是一个真命
题，故其逆否命题也是真命题．故填(2)(3).
答案：(2)(3) 互为逆否的命题同真同假的应用
【技法点拨】
命题真假判断的一种策略
当判断一个命题的真假比较困难，或者在判断真假时涉及到分
类讨论时，通常转化为判断它的逆否命题的真假，因为互为逆
否命题的真假是等价的，也就是我们讲的“正难则反”的一种
策略.【典例训练】
1.与命题“若一个正整数能被5整除，则这个数能被15整除”
等价的命题是( )
(A)若一个正整数不能被5整除，则这个数不能被15整除
(B)若一个正整数能被15整除，则这个数能被5整除
(C)若一个正整数不能被15整除，则这个数不能被5整除
(D)若一个正整数能被5整除，则这个数不能被15整除
2.若a2＋b2＝c2，求证：a，b，c不可能都是奇数.【解析】1.选C.因为互为逆否的命题是等价命题，
所以选C.
2.若a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数，
得a2＋b2为偶数，而c2为奇数，即a2＋b2≠c2，
即原命题的逆否命题为真命题，故原命题也为真命题．
所以a，b，c不可能都是奇数．【总结】在题2中，结论用的是什么语句？此题的证明你又得
到怎样的启示呢？
提示：在题2中，结论用的是否定语句.得到的启示：凡是以否
定语句给出的命题，它的真假判断一般是使用它的逆否命题的
真假来判断.【变式训练】已知奇函数f(x)是定义域为R的增函数，a，b∈R
，若f(a)＋f(b)≥0，求证：a＋b≥0.
【证明】假设a＋b
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