高中数学人教A版选修4-1课件：1.4 直角三角形的射影定理.pptx

-1- 四 直角三角形的射影定理 -2- 四 直角三角形的射影定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1.掌握正射影即射影的概念,能画出点和线段的射影. 2.理解并掌握射影定理,并能解决有关问题. -3- 四 直角三角形的射影定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 1.射影 从一点向一条直线所引垂线的垂足,叫做这个点在这条直线上的 正射影.一条线段的两个端点在一条直线上的正射影之间的线段,叫 做这条线段在这条直线上的正射影.点和线段的正射影简称为射影. 【做一做1】￿线段MN在直线l上的射影不可能是￿(  ) A.点 B.线段 C.与MN等长的线段 D.直线 解析:当MN⊥l时,射影是一个点;当MN与l不垂直时,射影是一条线 段;特别地,当MN∥l或MN在l上时,射影与MN等长,线段MN的射影不 可能是直线. 答案:D -4- 四 直角三角形的射影定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 2.射影定理 -5- 四 直角三角形的射影定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 名师点拨 1.勾股定理:AC2+BC2=AB2,AD2+CD2=AC2,BD2+CD2=BC2. -6- 四 直角三角形的射影定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 【做一做2-1】￿如图,在Rt△ABC中,AC⊥CB,CD⊥AB于点D,且 CD=4,则AD·DB等于(  ) A.16 B.4 C.2 D.不确定 解析:∵AC⊥CB,CD⊥AB, ∴AD·DB=CD2. 又∵CD=4,∴AD·DB=42=16. 答案:A -7- 四 直角三角形的射影定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 【做一做2-2】￿如图,在Rt△ABC中,AC⊥BC,点C在AB上的正射 影为点D,且AC=3,AD=2,则AB=     .  解析:∵AC⊥CB, 又∵点D是点C在AB上的正射影, ∴CD⊥AB,∴AC2=AD·AB. 又∵AC=3,AD=2, -8- 四 直角三角形的射影定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 用射影定理证明勾股定理 剖析:如图,在Rt△ABC中,AC⊥CB,CD⊥AB于点D,则由射影定理 可得AC2=AD·AB,BC2=BD·BA, 则AC2+BC2=AD·AB+BD·BA=(AD+BD)·AB=AB2,即 AC2+BC2=AB2. 由此可见,利用射影定理可以证明勾股定理.过去我们是用面积 割补的方法证明勾股定理的,现在我们又用射影定理证明了勾股定 理,而且这种方法简洁明快,比用面积割补的方法要方便得多. -9- 四 直角三角形的射影定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 【例1】￿若CD是Rt△ACB斜边AB上的高,AB=25,AC=20,试确定 DB和CD的长. 分析:先用射影定理求出AD,从而求出DB,再用 射影定理求出CD. 解:∵AC⊥CB,CD⊥AB, ∴AC2=AD·AB,CD2=AD·DB. -10- 四 直角三角形的射影定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 反思1.本题可先用勾股定理求出BC,再用射影定理求出BD,最后 用勾股定理求出CD;此外还有其他方法. 2.运用射影定理进行直角三角形中的相关计算,有时需要与直角 三角形的其他性质相结合来解.如本题中,直角三角形中的六条线 段AC,BC,CD,AD,DB,AB,若已知其中任意两条线段的长,就可以计 算出其余线段的长. -11- 四 直角三角形的射影定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 【变式训练1】￿如图,在Rt△ABC中,CD为斜边AB上的高.若 AD=2 cm,DB=6 cm,求CD,AC,BC的长. 解:∵AC⊥CB,CD⊥AB, ∴CD2=AD·DB=2×6=12, -12- 四 直角三角形的射影定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 【例2】￿如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,BE平分 ∠ABC交AC于点E,EF⊥BC于点F.求证:EF∶DF=BC∶AC. -13- 四 直角三角形的射影定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 反思利用射影定理证明比例式成立的证明问题在本部分中比较 常见,在解题过程中,应弄清射影定理中成比例的线段,再结合比例 的基本性质加以灵活运用. -14- 四 直角三角形的射影定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 -15- 四 直角三角形的射影定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 -16- 四 直角三角形的射影定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 易错点:射影定理记忆不牢而致错 【例3】￿在Rt△ACB中,∠C=90°,CD⊥AB于D,若BD∶AD=1∶9,则 tan∠BCD=     .  错解:在Rt△ACB中,设BD=x,则AD=9x, 又∵CD2=AD·AB, 错因分析:本题的错因是没有准确地记住射影定理中的三组公式, 误认为CD2=AD·AB致误. -17- 四 直角三角形的射影定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 正解:在Rt△ACB中,CD⊥AB,由射影定理得CD2=AD·BD. 又BD∶AD=1∶9,令BD=x, 则AD=9x(x>0). ∴CD2=9x2. ∴CD=3x.