高中数学人教A版选修4-1课件：2.1 圆周角定理.pptx

-1- 第二讲 直线与圆的位置关系 -2- 一 圆周角定理 -3- 一 圆周角定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1.了解圆心角定理,并能应用定理解决问题. 2.理解圆周角定理及其两个推论,并能应用定理解决有关问题. -4- 一 圆周角定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 1.圆周角定理 -5- 一 圆周角定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 名师点拨定理中的圆心角与圆周角一定是对着同一条弧,它们才 有上面定理中所说的数量关系. -6- 一 圆周角定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 【做一做1】￿如图,在☉O中,∠BAC=25°,则∠BOC等于(  ) A.25°        B.50° C.30° D.12.5° 解析:根据圆周角定理,得 ∠BOC=2∠BAC=50°. 答案:B -7- 一 圆周角定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 2.圆心角定理 -8- 一 圆周角定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 答案:30° -9- 一 圆周角定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 3.圆周角定理的推论 (1)推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆 周角所对的弧相等. (2)推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的 弦是直径. -10- 一 圆周角定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 名师点拨1.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等,但并不是“圆 心角等于它所对的弧”. 2.“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆 中”. 3.由弦相等推出弧相等时,这里的弧要求同圆或等圆中同是优弧 或同是劣弧,一般选劣弧. 4.在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦三组量之间的 相等关系简单地说,就是圆心角相等能推出弧相等,进而能推出弦 相等. -11- 一 圆周角定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 【做一做3-1】￿如图,在☉O中,∠BAC=60°,则∠BDC等于(  ) A.30° B.45° C.60° D.75° 解析:∠BDC=∠BAC=60°. 答案:C -12- 一 圆周角定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 答案:A -13- 一 圆周角定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 圆周角定理的理解 剖析:(1)应用圆周角定理时,要注意的问题如下: 圆周角定理推论1中,同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等. 这一定理成立的前提是同圆或等圆,否则不成立. (2)在圆周角定理的证明中,运用了数学中分类讨论和化归的思想 以及归纳的证明方法.这个定理是从特殊情况入手研究的,首先研 究当角的一边过圆心时,得到圆周角与同弧所对的圆心角的关系, 然后研究当角的一边不经过圆心时,圆周角与同弧所对的圆心角之 间的关系.当角的一边不经过圆心时,又有两种情况:一是圆心在圆 周角内部;二是圆心在圆周角外部.经过这样不同情况的讨论,最后 得到:不论角的一边是否经过圆心,都有定理中的结论成立.在几何 里,许多定理的证明,都需要像这样分情况进行讨论,后面还会遇到 这种分情况证明的定理. -14- 一 圆周角定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 (3)通过圆周角定理的分析、证明,我们可以看到,在几何里讨论 问题时,常常从特殊情况入手,因为在特殊情况下问题往往容易解 决.如图,中间一种情况为圆周角的一边经过圆心,此时∠AOB=2∠C 很容易证明,特殊情况下的问题解决之后,再想办法把一般情况下 的问题转化为特殊情况下的问题,如图中的左图和右图的情况,通 过辅助线,把它们变成中间图中的两个角的和或差,这样利用特殊 情况下的结论,便可使一般情况下的结论得证. -15- 一 圆周角定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 【例1】￿如图,△ABC的三个顶点都在☉O上,∠BAC的平分线与 BC边和☉O分别交于点D,E. (1)指出图中相似的三角形,并说明理由; (2)若EC=4,DE=2,求AD的长. 分析:(1)本题证明两个三角形相似,要用三角形相似的判定定理, 而其中角的条件由同弧所对的圆周角相等得出;(2)要求线段长度, 先由三角形相似得线段成比例,再求其长度. -16- 一 圆周角定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 解:(1)∵AE平分∠BAC, ∴∠BAD=∠EAC. 又∵∠B=∠E,∴△ABD∽△AEC. ∵∠B=∠E,∠BAE=∠BCE, ∴△ABD∽△CED,△AEC∽△CED. (2)∵△CED∽△AEC, ∴CE2=ED·AE, ∴16=2AE,∴AE=8. ∴AD=AE-DE=6. 反思求圆中线段长时,常先利用圆周角定理及其推论得到相似三 角形,从而得到成比例线段,再列方程求得线段长. -17- 一 圆周角定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 -18- 一 圆周角定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 证明:∵BC是☉O的直径, ∴∠BAC为直角. 又∵AD⊥BC,∴Rt△BDA∽Rt△BAC. ∴∠BAD=∠ACB. ∴∠BAD=∠FBA. ∴△ABE为等腰三角形. ∴AE=BE. 题型一 题型二 题型三 -19- 一 圆周角定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 反思1.有关圆的题目中,圆周角与它所对的弧经常相互转化,即欲 证明圆周角相等,可转化为证明它们所对的弧相等;要证明线段相 等也可以转化为证明它们所对的弧相等,这是证明圆中线段相等的 常见策略. 2.若已知条件中出现直径,则常用到“直径所对的圆周角为直角” 这一性质解决问题. -20- 一 圆周角定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 【变式训练2】￿如图,△ABC内接于☉O,D,E在BC边上,且 BD=CE,∠1=∠2.求证:AB=AC. -21- 一 圆周角定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 -22- 一 圆周角定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 易错点:误认为同弦或等弦所对圆周角相等而致错 【例3】￿如图,若∠BAD=75°,则∠BCD=     .  错解:∵∠BAD和∠BCD所对的弦都是BD, ∴∠BAD=∠BCD. ∴∠BCD=75°. 错因分析:错解中,没有注意到圆周角∠BAD和∠BCD所对的弧不 相等,导致得到错误的结论∠BAD=∠BCD. -23- 一 圆周角定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 答案:105° 反思同弦或等弦所对的圆周角不一定相等.当弦是直径时,同弦或 等弦所对的圆周角相等,都等于90°;当弦不是直径时,该弦将圆周分 成两条弧:优弧和劣弧,若圆周角的顶点同在优弧上或同在劣弧上, 同弦或等弦所对的圆周角相等;若一个圆周角的顶点在优弧上,另 一个圆周角的顶点在劣弧上,则同弦或等弦所对的圆周角不相等, 它们互补(如本题).