高中数学人教A版选修4-1课件：2.2 圆内接四边形的性质与判定定理.pptx

-1- 二 圆内接四边形的性质与判定定理 -2- 二 圆内接四边形的 性质与判定定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1.了解圆内接四边形的概念,掌握圆内接四边形的性质定理及其 应用. 2.理解圆内接四边形的判定定理及其推论,并能解决有关问题. 3.了解反证法在证明问题中的应用. -3- 二 圆内接四边形的 性质与判定定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 4 1.性质定理1 -4- 二 圆内接四边形的 性质与判定定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 4 【做一做1】￿四边形ABCD内接于圆O,∠A=25°,则∠C等于(  ) A.25° B.75° C.115° D.155° 解析:∵四边形ABCD内接于圆, ∴∠A+∠C=180°. 又∵∠A=25°, ∴∠C=180°-∠A=155°. 答案:D -5- 二 圆内接四边形的 性质与判定定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 4 2.性质定理2 -6- 二 圆内接四边形的 性质与判定定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 4 【做一做2】￿如图,四边形ABCD内接于圆O,延长AB到点E,若 ∠ADC=32°,则∠CBE等于(  ) A.32° B.58° C.64° D.148° 解析:∵四边形ABCD内接于圆O, ∴∠CBE=∠ADC=32°. 答案:A -7- 二 圆内接四边形的 性质与判定定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 4 归纳总结1.利用这两个性质定理,可以借助圆变换角的位置,得到 角的相等关系或互补关系,再进行其他的计算或证明. 2.利用这两个定理可以得出一些重要结论,如内接于圆的平行四 边形是矩形;内接于圆的菱形是正方形;内接于圆的梯形是等腰梯 形等. -8- 二 圆内接四边形的 性质与判定定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 4 3.圆内接四边形判定定理 -9- 二 圆内接四边形的 性质与判定定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 4 【做一做3】￿下列四边形的四个顶点共圆的是(  ) A.梯形 B.矩形 C.平行四边形 D.菱形 答案:B -10- 二 圆内接四边形的 性质与判定定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 43 4.推论 归纳总结性质定理1和判定定理互为逆定理,性质定理2和判定定 理的推论互为逆定理. -11- 二 圆内接四边形的 性质与判定定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 43 【做一做4】￿如图,四边形ABCD的边AB的延长线上有一点E,且 BC=BE,∠D=80°,∠E=50°.求证:四边形ABCD内接于圆. 证明:∵BC=BE,∴∠E=∠BCE. 则∠EBC=180°-2∠E=80°, ∴∠EBC=∠D.∴四边形ABCD内接于圆. -12- 二 圆内接四边形的 性质与判定定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1.圆内接四边形的性质定理与判定定理 剖析:(1)圆的内接四边形的外角及内对角 如图,圆内接四边形ABCD的内角∠BAD的两个补角∠1和∠2称为 圆内接四边形的外角.因为∠BAD和∠C两角相对,所以∠C称为∠1 与∠2的内对角,且它们满足∠BAD+∠C=180°,∠1=∠2=∠C. (2)判定定理与性质定理的内在联系 性质定理1和判定定理互为逆定理,性质定理2与判定定理的推论 互为逆定理. -13- 二 圆内接四边形的 性质与判定定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 2.与圆内接四边形有关的相似三角形 剖析:如图,通过掌握与圆有关的相似三角形的基本图形,可以在 解题过程中遵循正确的思维规律和解题步骤,对图形运用自如,融 为一体,做出连贯反应. 基本图形1 基本图形2 基本图形3 -14- 二 圆内接四边形的 性质与判定定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 基本图形1:圆的任意内接四边形ABCD,有 △AED∽△BEC,△DEC∽△AEB. 基本图形2:四边形ABCD内接于☉O,AD,BC的延长线交于点F,其 中相似三角形有 △AED∽△BEC,△AEB∽△DEC,△CDF∽△ABF,△ACF∽△BDF. 基本图形3:四边形ABCD内接于☉O,AD,BC的延长线交于点F,AB 为直径,其中相似三角形有 △DEC∽△AEB,△FDC∽△FBA,Rt△AFC∽Rt△BFD∽Rt△AED∽Rt △BEC. -15- 二 圆内接四边形的 性质与判定定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 【例1】￿如图,在△ABC中,E,D,F分别为AB,BC,AC的中点,且 AP⊥BC于点P.求证:E,D,P,F四点共圆. 分析:连接PF,转化为证明∠FED=∠FPC,先利用中点证明 ∠FED=∠C,再利用AP⊥BC证明PF=FC,得∠C=∠FPC,即得出 ∠FED=∠FPC. -16- 二 圆内接四边形的 性质与判定定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 证明:如图,连接PF. ∵AP⊥BC,F为AC的中点, ∴PF是Rt△APC斜边上的中线. ∴PF=FC,∴∠FPC=∠C. ∵E,F,D分别为AB,AC,BC的中点, ∴EF∥CD,ED∥FC. ∴四边形EDCF为平行四边形. ∴∠FED=∠C,∴∠FPC=∠FED. ∴E,D,P,F四点共圆. -17- 二 圆内接四边形的 性质与判定定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 反思判定四点共圆的方法:①如果四个点与一定点距离相等,那么 这四个点共圆;②如果一个四边形的一组对角互补,那么这个四边 形的四个顶点共圆;③如果一个四边形的一个外角等于它的内角的 对角,那么这个四边形的四个顶点共圆(如本题);④与线段两个端点 连线的夹角相等(或互补)的点连同该线段两个端点在内共圆. -18- 二 圆内接四边形的 性质与判定定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 【变式训练1】￿在锐角三角形ABC中,AD是BC边上的高 ,DE⊥AB,DF⊥AC,点E,F是垂足. 求证:E,B,C,F四点共圆. -19- 二 圆内接四边形的 性质与判定定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 证明:如图,连接EF, ∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴A,E,D,F四点共圆. ∴∠1=∠2. ∵AD是BC边上的高, ∴∠1+∠C=∠2+∠C=90°. ∴∠BEF+∠C=180°. ∴B,E,F,C四点共圆. -20- 二 圆内接四边形的 性质与判定定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 【例2】￿如图,已知四边形ABCD内接于☉O,延长AB和DC相交于 点E,EG平分∠AED,且与BC,AD分别交于点F,G.求证 :∠CFG=∠DGF. 分析:由∠BEF=∠DEG,可证明△EBF∽△EDG,又∠BFE与∠CFG是 对顶角,问题获证. -21- 二 圆内接四边形的 性质与判定定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 证明:∵四边形ABCD内接于☉O, ∴∠EBF=∠ADE. 又EF是∠AED的平分线, 则∠BEF=∠DEG, ∴△EBF∽△EDG. ∴∠EFB=∠DGF. 又∵∠EFB=∠CFG, ∴∠CFG=∠DGF. 反思当已知条件中出现圆内接四边形时,常用圆内接四边形的性 质定理来获得角相等或互补,从而为证明三角形相似或两条直线平 行等问题创造条件. -22- 二 圆内接四边形的 性质与判定定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 【变式训练2】￿如图,两圆☉O1,☉O2相交于点A,B.☉O1的弦BC交 ☉O2于点E,☉O2的弦BD交☉O1于点F. 求证:(1)若∠DBA=∠CBA,则DF=CE; (2)若DF=CE,则∠DBA=∠CBA. -23- 二 圆内接四边形的 性质与判定定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 证明:(1)如图,连接AE,AF,AC,AD,则∠3=∠4,∠5=∠6. ∴AD=AE,∴△ACE≌△AFD. 故CE=DF. (2)由(1)得∠3=∠4,∠5=∠6. 又∵DF=CE,∴△ACE≌△AFD, ∴AD=AE, ∴∠1=∠2,即∠DBA=∠CBA. -24- 二 圆内接四边形的 性质与判定定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 易错点:错用圆内接四边形的外角等于它的内角的对角这一定理 而致错 【例3】￿如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,E为AB的延长线 上一点,∠CBE=40°,则∠AOC等于(  ) A.20°      B.40° C.80°      D.100° 错解:∵四边形ABCD是☉O的内接四边形, ∴根据圆内接四边形的外角等于它的内角的对角,得 ∠CBE=∠COA=40°.故选B. 错因分析:上述解答错误的原因是对性质定理2的理解不透彻,不 能准确理解“外角等于它的内角的对角”的含义.所谓的“内角的对 角”通常是指圆周角. -25- 二 圆内接四边形的 性质与判定定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 正解:∵四边形ABCD是圆内接四边形,且∠CBE=40°,由圆内接 四边形的性质知∠D=∠CBE=40°.又由圆周角定理知 ∠AOC=2∠D=80°. 答案:C