高中数学人教A版选修4-1课件：2.5 与圆有关的比例线段.pptx

-1- 五 与圆有关的比例线段 -2- 五 与圆有关的比例线段 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1.掌握相交弦定理及其应用. 2.掌握割线定理、切割线定理及其应用. 3.掌握切线长定理及其应用. -3- 五 与圆有关的比例线段 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 4 1.相交弦定理  归纳总结由相交弦定理可得推论:垂直于弦的直径平分这条弦,且 该弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项. -4- 五 与圆有关的比例线段 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 4 【做一做1】￿如图,☉O的两条弦AB与CD相交于点 E,EC=1,DE=4,AE=2,则BE等于(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:∵AE·EB=DE·EC, ∴2EB=4×1.∴EB=2. 答案:B -5- 五 与圆有关的比例线段 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 4 2.割线定理 -6- 五 与圆有关的比例线段 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 4 【做一做2】￿如图,P是☉O外一点,PC=4,PD=2,则PA·PB等于(   ) A.2 B.4 C.8 D.不确定 解析:∵PA·PB=PC·PD, ∴PA·PB=4×2=8. 答案:C -7- 五 与圆有关的比例线段 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 4 3.切割线定理 -8- 五 与圆有关的比例线段 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 4 名师点拨相交弦定理、割线定理和切割线定理(割线定理的推论 )统称为圆幂定理.可统一记忆成一个定理:过圆内或圆外一点作圆 的两条割线,则这两条割线被圆截出的两弦被定点分(内分或外分) 成两线段长的积相等(至于切线可看作是两条交点重合的割线).两 条线段的长的积是常数PA·PB=|R2-d2|,其中d为定点P到圆心O的距 离.若点P在圆内,dR,则该常数为d2-R2.使用时注意每条线段的两 个端点一个是公共点,另一个是与圆的交点. -9- 五 与圆有关的比例线段 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 4 【做一做3】￿如图,P是☉O外一点,PA与☉O相切于点A,过点P的 直线l交☉O于点B,C,且PB=4,PC=9,则PA等于(  ) A.4 B.6 C.9 D.36 解析:∵PA2=PB·PC=4×9=36, ∴PA=6. 答案:B -10- 五 与圆有关的比例线段 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 43 4.切线长定理 -11- 五 与圆有关的比例线段 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 43 【做一做4】￿如图,PA,PB分别为☉O的切线,切点分别为 A,B,∠P=80°,则∠C=     .  解析:∵PA,PB分别为☉O的切线, ∴PA=PB. 又∠P=80°,∴∠PAB=∠PBA=50°. ∴∠ACB=∠PAB=50°. 答案:50° -12- 五 与圆有关的比例线段 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1.与圆有关的比例线段问题 剖析:与圆有关的比例线段问题,主要是圆与相似形的综合,其解 法大致可分以下几种: (1)直接由相似形得到,即先由已知条件证得两个三角形相似,从 而直接得到有关对应线段成比例.这是简单型的比例线段问题. (2)利用“等线段”代换得到,在证明“等积式”形如a2=bc时,如果其 中有三条线段共线,那么一般往往把平方项线段用“等线段”进行代 换. (3)利用“中间积”代换得到,在证明“等积式”形如a2=bc时,如果其 中有三条线段共线,可以把平方项的线段利用中间积进行代换. -13- 五 与圆有关的比例线段 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 (4)利用“中间比”代换得到,在证明比例线段(不论共线与否),如果 不能直接运用有关定理,可以寻找“中间比”进行代换. 与圆有关的比例线段证明要诀:圆幂定理是法宝,相似三角形中 找诀窍,联想射影定理分角线,辅助线来搭桥,第三比作介绍,代数方 法不可少,分析综合要记牢,十有八九能见效. -14- 五 与圆有关的比例线段 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 2.垂径定理、切线长定理、射影定理、相交弦定理、切割线定 理之间的关系 剖析:如图,PA,PB为☉O的两条切线,A,B为切点,PCD为过圆心O 的割线,连接AB,交PD于点E,则有下列结论: (1)PA2=PB2=PC·PD=PE·PO; (2)AE2=BE2=DE·CE=OE·PE; (3)若AC平分∠BAP, 则C为△PAB的内心; (4)OA2=OC2=OE·OP=OD2; (6)∠AOP=∠BOP,∠APD=∠BPD. -15- 五 与圆有关的比例线段 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 【例1】￿如图,过☉O内一点A作直线,交☉O于B,C两点,且 AB·AC=64,OA=10,则☉O的半径￿r=    . -16- 五 与圆有关的比例线段 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 反思相交弦定理的结论是线段成比例,也可以看成等式,因此利用 相交弦定理既可以得到成比例线段,又可以建立方程来解决问题. 如本题中,利用相交弦定理列出关于半径r的方程. -17- 五 与圆有关的比例线段 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 -18- 五 与圆有关的比例线段 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 【例2】￿如图,已知☉O的割线PAB交☉O于点A和点B,PA=6  cm,AB=8 cm,PO=10.9 cm,求☉O的半径. 分析:由于PO既不是☉O的切线,也不是割线,故需将PO延长交 ☉O于点D,构成圆的一条割线,而OD又恰好是☉O的半径,于是运用 割线定理解题即可. -19- 五 与圆有关的比例线段 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 解:如图,将PO延长交☉O于D. 根据割线定理,可得PA·PB=PC·PD. 设☉O的半径为r cm, 则6×(6+8)=(10.9-r)(10.9+r), 解得r=5.9,即☉O的半径为5.9 cm. 反思如果已知条件中出现过圆外同一点的圆的割线,那么常用到 割线定理.本题中,利用割线定理列出关于半径r的方程,进而可求出 r的值. -20- 五 与圆有关的比例线段 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练2】￿ 如图,PB和PD为圆的两条割线,分别交圆于点A,B和点C,D.若 PA=5,AB=7,CD=11,则AC∶BD=     . -21- 五 与圆有关的比例线段 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 答案:1∶3 -22- 五 与圆有关的比例线段 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 -23- 五 与圆有关的比例线段 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 证明:如图,连接BC,BD. ∴∠DBE=∠CBE. 又AB是☉O的切线, ∴∠ABC=∠CDB. ∴∠ABC+∠CBE=∠DBE+∠CDB, ∴∠ABF=∠AFB. ∴AB=AF. 又AB是☉O的切线,ACD为割线,由切割线定理,可知AC·AD=AB2, ∴AF2=AC·AD. 反思如果已知条件中同时出现过圆外同一点的切线和割线,那么 常用到切割线定理. -24- 五 与圆有关的比例线段 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练3】￿ 如图,自圆O外一点P引切线与圆切于点A,M为PA的中点,过M引 割线交圆于B,C两点.求证:∠MCP=∠MPB. 证明:∵PA与圆相切于A, ∴MA2=MB·MC. ∵M为PA的中点, ∴PM=MA, ∴PM2=MB·MC, ∵∠BMP=∠PMC, ∴△BMP∽△PMC,∴∠MCP=∠MPB. -25- 五 与圆有关的比例线段 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 【例4】￿如图,AB是☉O的直径,C是☉O上一点,过点C的切线与过 A,B两点的切线分别交于点E,F,AF与BE交于点P. 求证:∠EPC=∠EBF. 证明:∵EA,EF,FB是☉O的切线, ∴EA=EC,FC=FB. ∵EA,FB切☉O于A,B,AB是直径, ∴EA⊥AB,FB⊥AB. -26- 五 与圆有关的比例线段 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 反思如果已知条件中出现过圆外同一点的切线,那么常用到切线 长定理.首先要注意分析其中的等量关系,即①切线长相等,②圆外 的点与圆心的连线平分两条切线的夹角,然后结合直角三角形、相 似三角形等图形的有关性质进行计算与证明. -27- 五 与圆有关的比例线段 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练4】 ￿ 如图,PA,PB是☉O的两条切线,A,B为切点,直线OP交☉O于点 D,E,交AB于点C,图中互相垂直的线段有     .(只要求写出 一对线段)  解析:如题图,由于PA,PB均为☉O的切线, ∴PA⊥OA,PB⊥OB. 又由切线长定理得PA=PB,OP为∠APB的平分线, ∴AB⊥OP,故应填PA⊥OA或PB⊥OB或AB⊥OP. 答案:AB⊥OP(答案不唯一)